Аналитическая геометрия; способы представления линии; полярная и декартова системамы координат

Раздел 3. Аналитическая геометрия § 1. Способы представления линии. n1.Декартовая система координат. Дана линия L в декартовой системе координат на плоскости. Текущая точка M(x,y) линии L однозначно характеризуется Y упорядоченной парой координат (x,y). Для определения M(x,y) координат точки M необходимо опустить перпендикуляры на y оси координат. Точка – текущая, следовательно, ее координаты переменные величины. Областью определения переменных X являются числовые оси X, Y. O x Определение. Уравнение вида F(x,y)=0 называется уравнением линии L в декартовой системе координат, если решением этого уравнения являются координаты точек M(x,y), принадлежащих этой линии, а координаты любых других точек вне L не являются решением. Определение. Решением уравнения F(x,y)=0 называется такая пара точек x и y , подстановка которых в это уравнение превращает его в тождество. L Примеры. Уравнение F(x,y)=0 это уравнения круга и параболы, x 2 + y 2=4 , y= x 2 . Координаты точек круга радиуса 2 и параболы являются решением соответствующих линий. n.2. Параметрический способ представления линии. Дана линия L в декартовой системе. Полагаем, что M(x,y) – текущая точка линии L, которая представляет собой след движения объекта в различные моменты времени. Для определения местоположения точки M(x,y) в разные моменты времени t необходимо знать координаты точки, которые являются функциями времени т. е. M(x(t),y(t)). В общем случае координаты M(x,y) могут быть функцией любой другой переменной кроме t, тогда геометрическое место точек линии L определяется системой уравнений { x= x (t) - параметрическое уравнение линии L, где t – параметр системы. y= y (t) В качестве параметра может быть время, длина дуги, скорость, ускорение и т. д. (1) n.3. Представление линии в полярной системе координат. Определение. Совокупность оси l и фиксированной точки O называется полярной системой координат. Положительное направление совпадает со стрелкой, отрицательное — противоположное. Положительным M(r,) вращением является вращение против часовой стрелки, r отрицательное — по часовой стрелке.  M(r,) - текущая точка с координатами r, . Фиксированная точка O называется полюсом. Для определения O ⃗ ) от l местоположения точки M(r,) луч (вектор OM начального положения, совпадающего с осью l для пересечения M(r,) повернут на угол , на луче отложено расстояние r вдоль луча от полюса до точки M(r,). Рассмотрим различные случаи определения координат M(r,). 1. M(r,-) - поворот луча производится по часовой стрелке. ⃗ . 2. M(-r,) - расстояние r откладывается на луче в направлении противоположном вектору OM 3. M(-r,-) - луч повернут по часовой стрелке, и расстояние r откладывается на луче в ⃗ . направлении противоположном вектору OM n.4. Связь между полярной и декартовой системами координат. Дана декартовая и полярная системы координат. Для записи канонической (простейшей) связи между координатами текущих точек полярную ось совместим с осью X, а полюс расположим в начале декартовой системы. Y M(r,) y M(x,y) r  x O X l M(r,), M(x,y) – текущие точки в полярной и декартовой системах координат соответственно. Рассмотрим переход от ДСК к полярной системе. Из рисунка видно, что x sin( φ )= r , откуда следует, что y cos (φ )= r { { x=r⋅sin( φ ) - формулы перехода от декартовой y=r⋅cos (φ ) системы координат к полярной. Рассмотрим обратный переход. Из рисунка следует, что { r =√ x 2 + y 2 x , откуда sin (φ )= y декартовой. { r =√ x 2 + y 2 - формулы перехода от полярной системы координат к φ =arcsin ( x / y) § 2. Прямая линия на плоскости. Существуют два способа записи уравнения прямой: 1) по известной точке и нормальному вектору к прямой; 2) по известной точке на прямой и коллинеарному вектору. В параграфе рассмотрено уравнение линии в плоскости в декартовой системе координат. Задача №1. Составить уравнение прямой в плоскости в ДСК по известной точке M(x0y0) и нормальному вектору. Определение. Любой вектор, перпендикулярный заданной прямой называется нормальным. Y M0 n(A,B) На линии указаны начальная точка M0(x0y0) и нормальный вектор ⃗ n (A , B) , а также текущая точка M ⃗ M 0 M . Из M(x,y). Найдем координаты вектора координат конечной точки вычтем координаты M 0 M ={x-x0,y-y0). Вектора ⃗ начальной, ⃗ n (A , B) и X ⃗ M 0 M взаимно перпендикулярны, тогда скалярное произведение векторов равно нулю. O M 0M ,⃗ n )=0 . Запишем Произведение равно нулю (⃗ скалярное произведение в координатной форме, тогда (2) A⋅( x− x 0)+ B⋅( y− y 0 )=0 - уравнение прямой линии на плоскости. В уравнении (2) константы A, B - координаты известного нормального вектора, (x0,y0) координаты известной точки на прямой, (x,y) — координаты текущей точки. В уравнении (2) раскроем скобки A⋅( x− x 0)+ B⋅( y− y 0 )= Ax+ By +(− Ax 0−By 0)=Ax+ By+ D=0 , где D=(− Ax0− By0 ) - свободный член. Тогда (3) Ax+By+D=0 – уравнение прямой на плоскости в общем виде. В уравнении (3) коэффициенты при (x,y) — это координаты нормального вектора. Задача №2. Составить уравнение прямой на плоскости по известной точке M0(x0y0) и направляющему вектору ⃗ n (m , s) . Определение. Любой вектор плоскости, коллинеарный данной прямой называется направляющим вектором. Y M0 n(m,s) M X Дана прямая с начальной точкой M0(x0y0), известно также, что M 0 M . Найдем координаты вектора ⃗ M 0M . n (m , s) // ⃗ ⃗ Из координат конечной точки вычтем координаты начальной, ⃗ M 0 M ={x-x0,y-y0). M 0M Вектора ⃗ n (A , B) и ⃗ коллинеарны, тогда векторное произведение векторов равно нулю, или координаты коллинеарных векторов должны быть пропорциональными, т. е. O (x− x 0) ( y− y 0 ) = - каноническое уравнение прямой в плоскости, записанное m s по известной точке M0(x0y0) и направляющему вектору ⃗ n (m , s) . Рассмотрим параметрическое уравнение прямой в плоскости. Обозначим коэффициент пропорциональности отношения координат в (4) через t (x− x 0) ( y− y 0 ) = =t , тогда ( x−x 0 )=m⋅t , или m s ( y− y 0 )=s⋅t x= x 0+ m⋅t (5) - параметрическое уравнение прямой в плоскости. y = y 0+ s⋅t Для записи уравнения в параметрической форме необходимо знать координаты начальной точки, а также координаты направляющего вектора. (4) { { § 3. Различные виды уравнения прямой в плоскости. n.1. Известны две точки на прямой. Будем полагать, что известны координаты 2-х точек на Y прямой линии. y2 Дана прямая линия с точками M1(x1y1), M2(x2y2). В M2 M произвольном месте прямой укажем текущую точку y ⃗ M1M 2 и M(x,y). Найдем координаты векторов M1  ⃗ M 1 M . Из координат конечной точки вычтем y1 ⃗ M 1 M 2 (x 2− x1 , y 2− y 1) , координаты начальной: X ⃗ M 1 M ( x −x 1 , y− y 1) . Из построения следует, что x x1 x2 O M 1 M 2 // ⃗ M 1 M коллинеарны. вектора ⃗ Воспользуемся условием коллинеарности векторов в координатной форме, т. е. ( x−x 1) ( y− y 1) = - уравнение прямой линии по известным 2-м точкам с (x 2− x 1) ( y 2− y 1 ) координатами (x1y1), (x2y2). Преобразуем уравнение (6) следующим образом (6) (y 2 −y 1) ( y −y ) (x−x 1) . Из анализа рисунка следует, что tg( α )= 2 1 , где  (x2 −x 1) ( x 2−x 1 ) угол наклона прямой к оси X. Обозначим tg( α )=k - угловой коэффициент , тогда ( y−y 1)= (7) ( y− y 1)=k (x− x 1) - уравнение прямой линии по известному угловому коэффициенту и точке с координатами (x1,y1). В уравнении (7) раскроем скобки y=kx+( y 1−kx 1)=kx+ b , где b равно константе b=( y 1−kx 1) . y=kx+ b уравнение прямой линии по известному угловому коэффициенту. (8) Замечание: Если прямая пересекает ось ординат при x=0, тогда координатами точки пересечения оси Y будут (0,b), отрезок отсекаемый на оси Y совпадает с величиной b. Рассмотрим уравнение прямой линии в “отрезках”. Предположим, что прямая пересекает оси X,Y в известных точках M1(0,b) и M2(a,0). Тогда для записи уравнения можно воспользоваться уравнением (6). Откуда следует, что Y M1 b (x−0) ( y −b) , или = (a−0) (0−b) M x y + =1 a b “отрезках”. M2 O a (9) X x y = +1 . Откуда следует a −b уравнение прямой линии в n.2. Взаимное расположение прямых на плоскости. Даны два уравнения прямых в общем виде. Поскольку коэффициенты при (x,y) – это координаты { A1 x + B1 y+C 1=0 A2 x+ B2 y+C 2=0 нормального вектора, тогда n⃗1 ( A1 , B1 ) , n⃗2 ( A2 , B 2) - это перпендикулярные вектора к 1-й и 2й прямой соответственно. Рассмотрим взаимное расположение прямых на плоскости, которые обозначим как I и II. а). Предположим, что прямые I и II взаимно Y перпендикулярны. Тогда, очевидно, взаимно  перпендикулярны нормальные вектора n⃗1 ( A1 , B1 ) ⟂ n⃗2 ( A2 , B 2) , которые могут быть определены из уравнения прямых. Воспользуемся координатной формой условия перпендикулярности векторов 1 2 X A1⋅A2+ B1⋅B2 =0 . Формула позволяет аналитически определить перпендикулярность прямых. Если I, II O уравнения взаимно перпендикулярны, тогда коэффициенты при (x,y) связаны приведенной формулой. б). Предположим, что прямые I и II коллинеарны, тогда нормальные вектора, которые, очевидно, могут быть определены из уравнений прямых, также коллинеарны n⃗1 ( A1 , B1 ) // n⃗2 ( A2 , B 2) . Воспользуемся координатной формой коллинеарности векторов, или пропорциональностью координат, тогда A1 B1 . = A2 B 2 Если I, II прямые коллинеарны, следовательно, коэффициенты при (x,y) в уравнениях прямых связаны указанной формулой. в). Прямые I и II расположены под произвольным углом . Тогда угол между нормальными векторами, координаты которых находятся из уравнений, также равен . Если уравнения прямых I и II приведены в общем виде, то после преобразований к виду (7) или (8) можно установить соответствующие угловые коэффициенты k1 и k2. Воспользуемся формулой тангенса разности углов из раздела тригонометрии математики школьной программы. tg ( φ )=tg ( φ 2−φ 1)=[tg( φ 2)−tg( φ 1)]/(1+tg( φ ) 2⋅tg( φ 1))=[k 2−k 1]/(1+ k1⋅k 2 ) , или φ =arctg ([ k 2−k1 ]/(1+k 1⋅k 2 )) - формула определения угла между произвольно расположенными прямыми в плоскости. Если прямые в плоскости приведены в виде формулы (8), тогда соответствующие уравнения для координат нормальных векторов приводятся в виде соотношений для угловых коэффициентов: 1+k 1⋅k 2 =0 , или а) для взаимно перпендикулярных прямых угол равен =900, тогда k 1=−1/ k 2 . б) для коллинеарных прямых угол равен =00, тогда k 1=k 2 .