Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Аналитическая геометрия Определение Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy. Тогда уравнение y=kx+b определяет прямую l, пересекающую ось Oy в точке D(0;b) и образующую угол a с положительным направлением оси Ox, где tg a=k. Число k называют угловым коэффициентом прямой l. Пример прямой, заданной уравнением y=kx+b y y=kx+b D(0;b) a x Рис. 1. Прямая, заданная уравнением y=kx+b Угловой коэффициент 1. Если k=0, то прямая параллельная оси Ox; 2. Если k>0, то прямая l образует с осью Ox острый угол, а функция y=kx+b является возрастающей; 3. Если k<0, то прямая l образует с осью Ox тупой угол, а функция y=kx+b является убывающей. Уравнение прямой с угловым коэффициентом y=kx+b Для построения прямой l, заданной уравнением y=kx+b, достаточно найти две точки этой прямой. В качестве таких точек можно взять точки пересечения прямой l с осями координат. Общее уравнение прямой: Ax+By+C=0. Уравнение прямой с угловым коэффициентом y=kx+b Рассмотрим уравнение Ax+By+C=0, где хотя бы одно из чисел A, B не равно нулю. • Если B¹ 0, то это уравнение можно записать в виде A C , то есть в виде y=kx+b, где A C k = , b = y =- xB B B B Следовательно, если B¹0, то уравнение Ax+By+C=0 представляет собой уравнение прямой. • Если B=0, то уравнение Ax+By+C=0 можно C записать в виде x = - . Это уравнение прямой, A параллельной оси Oy. Пример 1 Написать общее уравнение прямой, если угловой коэффициент равен 4, а отрезок b равен 2. Подставим значения в уравнение прямой y=kx+b Þ y=4x-2. Перенесем все в одну сторону и получим ответ: 4x-y-2=0. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку • Ax+By+C=0 Y M0 • ! n(A; B) X M • MM 0 = ( x - x0 ; y - y0 ), ! n ! n = ( A; B ) Рис. 2. Прямая, заданная уравнением Ax+By+C=0 Уравнение прямой, проходящей через две точки Через две заданные точки M1(x1;y1) и M2(x2;y2) можно однозначно провести только одну прямую AB (рис. 3). Обозначим через M(x;y) произвольную точку на прямой AB. Так как векторы M1M2 и M1M параллельны, то их координаты пропорциональны и описываются уравнением x - x1 y - y1 = x2 - x1 y2 - y1 Это уравнение и будет уравнением прямой, проходящей через две заданные точки. Уравнение прямой, проходящей через две точки Y B y3 M y2 y1 M M A x1 x2 x3 X Рис. 3. Прямая, проходящая через две точки Пример 2 Даны точки M1(-2;4) и M2(1;5). Написать уравнение прямой, проходящей через эти две точки. Подставим соответствующие координаты в уравнение прямой x - (- 2) y - 4 1 - (- 2 ) Ответ: x + 2 = y - 4 3 1 = 5-4 Расстояние от точки до прямой на плоскости Расстояние от точки M0(x0;y0) до прямой Ax+By+C=0 на плоскости Oxy определяется по формуле: d= Ax0 + By0 + C A2 + B 2 Пример 3 Найти расстояние от точки M(1;-3;2) до прямой 5x+2y-1=0. Здесь A=5, B=2, C=-1. Подставляем числа в формулу 5 ×1 + 2 × (- 3) - 1 d= 2 Ответ: d = 29 52 + 2 2 Линии второго порядка на плоскости К линиям второго порядка в первую очередь относят эллипс, гиперболу и параболу. Определение Фигура, которая описывается уравнением 2 y b 2 x y + 2 =1 2 a b где a – большая полуось, b – малая полуось. M x -a -F F -b Рис. 4. Эллипс a Определение y Фигура, которая описывается уравнением x2 y2 - 2 =1 2 a b где a – действительная полуось, b – мнимая полуось. M b -a a -F x F -b Рис. 5. Гипербола Определение Фигура, которая описывается уравнением y=x y 2 x Рис. 6. Парабола Прямая и плоскость в пространстве Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M0(x0;y0;z0), принадлежащей этой плоскости, и вектором, перпендикулярным этой плоскости, ! N = ( A; B; C ) . Вектор N называется нормальным вектором плоскости. Уравнение плоскости можно записать в следующем виде: A( x - x0 ) + B( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0 ! N M ( x0 , y0 , z0 ) Рис. 7. Нормальный вектор плоскости Геометрический смысл уравнения плоскости Геометрический смысл уравнения ! плоскости состоит в том, что нормальный векторN и любой вектор ! x = ( x - x0 , y - y0 , z - z0 ), принадлежащий плоскости, взаимно перпендикулярны. Скалярное произведение этих векторов равно ! ! нулю (N , x ) = 0 Пример 4 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1;2;3) перпендикулярно вектору N = (2;-1;1) В этом задании A=2, B= -1, C=1. Подставим числа в формулу плоскости 2(x-1)-1(y-2)+1(z-3)=0. Раскрываем скобки 2x-y+z-3=0. Это и есть уравнение искомой плоскости. Общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 где A, B, C, D – постоянные, причем! A, B, C – координаты нормального вектора N . Определение j Угол между их нормальными векторами (рис. 8). a1 N1 a2 j N2 Рис. 8. Угол между плоскостями Нахождение угла j Угол j вычисляется по следующей формуле: j = arccos(cos j ), где ! ! N1 × N 2 cos j = ! ! N1 × N 2 Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей 1. Две плоскости параллельны, если их нормали параллельны и выполняется условие A1 B1 C1 = = A2 B2 C2 2. Две плоскости перпендикулярны, если нормали перпендикулярны и выполняется условие A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0 Пример 5 Найти угол j между плоскостями x-2y+2z-8=0, x+z-6=0. ! N1 = (1;-2;2 ), а Нормаль ! первой плоскости равна второй N 2 = (1;0;1). По формуле: 1 ×1 + (- 2 ) × 0 + 2 ×1 3 1 cos j = = = 2 2 2 2 2 2 9 2 2 1 + (- 2 ) + 2 1 + 0 + 1 Следовательно, j = arccos 2 2 Способы задания прямой в пространстве 1. Прямая в пространстве задается пересечением двух плоскостей ì A1 x + B1 y + C1 z + D = 0 í î A2 x + B2 y + C2 z + D = 0 2. Прямую в пространстве можно задать, определив принадлежащую ей точку M0(x0;y0;z0) и вектор ! ! ( ) s = m; n; p параллельный этой прямой (вектор s называется направляющий вектор прямой). Определение Это условие параллельности вектора (x-x0,y-y0,zz0), где точки M(x,y,z) и M0(x0,y0,z0) лежат на определяемой прямой, и направляющего вектора c = (m, n, p ), записанное в виде x - x0 y - y0 z - z0 = = m n p Определение Угол между направляющими векторами (рис. 9). Вычисляется по формуле: j = arccos(cos j ) ! ! где s1 × s2 cos j = ! ! s1 × s2 l1 S1 j S2 l2 Рис. 9. Угол между двумя прямыми Условия параллельности и перпендикулярности прямых 1. Две прямые параллельны, если их направляющие вектора параллельны и выполняется равенство m1 n1 p1 = = m2 n2 p2 2. Две прямые перпендикулярны, если их направляющие вектора перпендикулярны и выполняется равенство m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 Пример 7 Найти направляющий вектор прямой ìx + 2 y - z - 2 = 0 l=í î x + y - 3z - 7 = 0 Направляющий вектор прямой вычисляется как векторное нормальных векторов ! произведение ! ! ! N1 ´ N 2 . N1 = (1;2;-1), N 2 = (1;1;-3). ! ! ! s = N1 ´ N 2 = ((- 6 + 1);-(- 3 + 1); (1 - 2 )) = (- 5;2;-1) Пример 8 Найти угол между прямыми ì3 x - y + 2 z - 7 = 0 l1 = í îx + 3y - 2z + 3 = 0 и x y - 3 z +1 l2 : = = . 2 -2 3 Направляющий вектор !для ! первой прямой находится ! аналогично примеру 7 Направляющий s 1 = N1 ´ N 2 = (- 4;8;10 ). ! вектор s2 для второй прямой определяется из канонического ! уравнения s2 = (2;-2;3). Теперь можно найти косинус угла ! ! s ×s cos j = !1 !2 = s1 × s2 - 4 × 2 + 8 × (- 2 ) + 10 × 3 (- 4)2 + 82 + 102 2 2 + (- 2 ) + 32 2 = 1 . 85 Угол между прямой и плоскостью N s j ! ! cos N , s = cos 90o - j = sin j . ( ) sin j = ( ) Am + Bn + Cp A + B +C 2 2 2 m +n + p 2 2 2 . Рис. 10. Угол между прямой и плоскостью Пример 9 x y + 1 z 1 Найти угол между прямой l : = = 2 3 1 и плоскостью a : 3x - y + 2 z - 1 = 0 ! Вектор нормали имеет координаты N = (3;-1;2 ), ! а направляющий вектор s = (2;3;1). Подставим в формулу: sin j = 3 × 2 + (- 1) × 3 + 2 ×1 32 + (- 1) + 2 2 2 2 + 32 + 12 2 Ответ: j = arcsin 5 14 = 5 14 Пересечение прямой и плоскости Прямая пересекается с плоскостью в некоторой точке T(xt;yt;zt). Координаты этой точки вычисляются по формуле: ì xt = x0 + t × m ï í yt = y 0 + t × n ïz = z +t × p î t где x0;y0;z0;m;n;p можно найти в каноническом уравнении прямой, а параметр t находится из формулы: Ax0 + By0 + Cz0 + D t=. Am + Bn + Cp Пример 10 Найти точку пересечения прямой l : x = y + 1 = z - 1 2 3 1 и плоскости a : 3x - y + 2 z - 1 = 0. Из канонического уравнения прямой находим: x0=0; y0=-1;z0=1. Подставляем известные величины в формулу для параметра Ответ: t=- 3 × 0 + (- 1) × (- 1) + 2 ×1 + (- 1) 2 =- . 3 × 2 + (- 1) × 3 + 2 ×1 5 ì 4 æ 2ö x = + × 2 = ç ÷ ï t 5 è 5ø ï 11 ï æ 2ö y = 1 + × 3 = . ç ÷ í t 5 5 è ø ï 3 æ 2ö ï z = 1 + × 1 = ç ÷ ï t 5 è 5ø î Условия параллельности прямой и плоскости ! 1. Прямая и плоскость параллельны, когда вектораN ! и s перпендикулярны, т.е. выполняется равенство Am + Bn + Cp = 0. ! 2. Прямая и плоскость перпендикулярны, когда N ! и s параллельны, то есть m n p = = . A B C Расстояние от точки до плоскости Расстояние от точки M0(x0;y0;z0) до плоскости Ax+By+Cz+D=0 определяется по формуле: d= Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B 2 + C 2 Пример 11 Найти расстояние от плоскости 3x+2y-z+2=0. точки M(1;2;3) Подставляем коэффициенты в формулу d= 3 × 2 + 2 ×1 + (- 1) × 3 + 2 3 + 2 + (- 1) 2 2 Ответ: d = 7 14 2 до Определение Поверхность, уравнением 2 определяемая 2 Z c 2 x y z + 2 + 2 = 1, 2 a b c называется (рис.11). эллипсоидом Числа a, b, c называются полуосями эллипсоида, а само уравнение каноническим уравнением эллипсоида. b Y X a Рис. 11. Эллипсоид Определение Поверхность, определяемая уравнением 2 2 2 x y z + 2 - 2 =1 2 a b c называется однополостным гиперболоидом (рис. 12), а само уравнение – каноническим. Однополостный гиперболоид Z Y X Рис. 12. Однополостный гиперболоид Определение Поверхность, определяемая уравнением 2 2 2 x y z + 2 - 2 = -1, 2 a b c называется двуполостным гиперболоидом (рис. 13). Двуполостный гиперболоид Z X Y Рис. 13. Двуполостный гиперболоид Определение Z Поверхность, определяемая уравнением 2 2 x y z= 2 + 2, a b называется эллиптическим параболоидом (рис. 14). X Y Рис. 14. Эллиптический параболоид Определение Z Поверхность, определяемая уравнением 2 Y 2 x y z= 2 - 2, a b называется гиперболическим параболоидом (рис. 15). Рис. 15. Гиперболический параболоид X