Амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики для основных конфигураций нулей и полюсов передаточной функции

Цифровая обработка сигналов; лекция 3 апреля 2017 г. МФТИ 4.7. Амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики для основных конфигураций нулей и полюсов передаточной функции По определению амплитудно-частотная характеристика   А  ω  H z  e jωt , фазово-частотная характеристика    ω  arg H z  e jωt  Основные свойства этих функций:  все частотные характеристики представляют собой периодические функции ω с периодом ωД = 2π∕Δt;  А(ω) – четная функция частоты, Ф(ω) – нечетная;  ордината А(ω) для полюса обратны по величине ординатам А(ω) для нуля, поэтому на нижеследующих рисунках шкалы, соответствующие характеристикам нулей, расположены слева, а соответствующие полюсам – справа. Характеристики будут нанесены только до частот ω = ωД, однако стоит помнить, что их значения повторяются через ωД;  поскольку полюс или нуль передаточной функции H(z), расположенный в точке z = 0, дает равномерную амплитудно-частотную характеристику на всех частотах, то А(ω) не изменится, если Н(ω) в дополнение к нулю в точке z = а будет содержать в точке z = 0 полюс любой кратности m. Точно также не изменится, если в H(z), имеющей полюс в точке z = а, добавить нуль любой кратности m в точке z = 0. Рассмотрим некоторые примеры. Пример 1. Пусть H(z) имеет нуль первого порядка в точке z = а: H(z) = z – а Соответствующее разностное уравнение y(k) = x(k + 1) – аx(k) физически нереализуемо, т.к. [x(k + 1)Δt] не может быть известно в момент t = kΔt когда вычисляется y(kΔt). Добавим теперь в H(z) однократный полюс в точке z = 0, тогда H  z  z a  1  az 1 . z Этой передаточной функции соответствует разностное уравнение y(k) = x(k) – аx(k – 1), которое теперь физически можно реализовать. В общем случае можно показать, что физическая реализуемость передаточной функции требует, чтобы степень z в числителе была меньше или равна степени z в знаменателе. Пример 2. Пусть H(z) имеет полюс в точке z = а: H  z  1 z 1  z  a 1  az 1 . Проблемы физической реализуемости в этом случае не возникает. Соответствующее разностное уравнение y(k) = x(k –1) +аy(k – 1) –1 реализуемо. Наличие z в числителе H(z) свидетельствует о наличии временной задержки, которая только увеличивает фазовый сдвиг и может быть устранена добавлением в передаточной функции нуля в точке z = 0. В результате этого H(z) станет равной 1 Цифровая обработка сигналов; лекция 3 апреля 2017 г. МФТИ H  z  1 , 1  az 1 а разностное уравнение y(k) = x(k ) + аy(k – 1). Для этих двух примеров характеристики А(ω) и Φ(ω) приведены на рис. 4.6 и 4.7. Шкала 1(дБ) +10 –10 а = –1 а = –0,5 а=0 а = 0,5 а=1 –10 0,01 +10 0,5 0,1 1 ω /ω Д Шкала 2(дБ) Рис. 4.6. Шкала 1. Амплитудно-частотная характеристика для нуля в точкеz = а. В общем случае H(z) = (z – a) ∕zm. Шкала 2. Амплитудно-частотная характеристика для полюса в точке z = a. В общем случае H(z) = zm ∕ (z – а). Как уже отмечалось, в передаточной функции можно добавить нуль или полюс любой кратности в точке z = 0, не меняя при этом А(ω). Из рис.4.7 видно, что линейная фазовая характеристика соответствует полюсу или нулю, лежащему на единичной окружности. Действительно, пусть, например, H(z) = 1– аz–1. Шкала 1(град) 90 а = 0,5 –90 а=1 а=1 а = -1 а –90 а =-0,5 = -1 90 ω /ω Д 1 Шкала 2(град) Рис. 4.7. Шкала 1. Фазово-частотная характеристика Ф(ω) для нуля в точке z = а и полюса в точке z = 0. H(z) = 1– аz–1. Шкала 2. Ф(ω) для полюса в точке z = а и нуля в точке z = 0. H(z) = 1 ∕ 1– аz–1. Для нахождения частотных характеристик подставим сюда z = exp(jωΔt): 2 Цифровая обработка сигналов; лекция 3 апреля 2017 г. МФТИ   j  ωΔt 2 π 2  2e  sin ωt 2 при а  1, H  ω  1  aе jωt   . 2e j ωΔt 2 cos ωΔt 2 при а = 1      Отсюда фазово-частотная характеристика для а = 1 Ф(ω) = – (ωΔt/2) + π/ 2, для а = –1  – t / 2, ()    – t / 2,  / Д  1/ 2 1/ 2   /  Д  1. Здесь учтено изменение знака косинуса в точке ω/ωД = 1/2. Расположение полюса на единичной окружности приводит к появлению незатухающих колебаний. Поэтому для получения почти линейной фазовой характеристики используют полюса, расположенные внутри единичного круга вблизи его границы. Однако при этом разрядность квантования коэффициентов фильтра должна быть достаточно высокой, чтобы случайные ошибки не вывели полюс за пределы единичного круга, т.е. чтобы не нарушалось условие устойчивости фильтра. Пример 3. Рассмотрим теперь комплексно-сопряженные пары нулей и полюсов. В общем случае эти пары могут быть расположены в любой части z-плоскости, но для иллюстрации типичных характеристик выберем пары с одинаковыми действительными и мнимыми частями. Если эти точки лежат на единичной окружности, где |z|= 1, то их координаты равны z  1  j  2 . Соответственно ωΔt = π/4 или ω/ωД = 1/8. Для нулей и полюсов в точках z  a 1 j  2 при а = 1; 0,8; 0,6; 0,2 фазовые характеристики приведены на рис. 4.8. Шкала 1(град) 120 • 1 •–120 0,8 80 • • –80 0,6 0,4 40 • • –40 0,2 –40• •40 –80• • 80 –120• • 120 • 025 • 0,5 • 0,75 1 w/wД Шкала 2(град) Рис. 4.8. Шкала 1. Фазово-частотная характеристика для комплексной пары нулей в точках z  a 1  j  2 и полюса второго порядка в точке z = 0 для указанных значений a. H  z   1  2az 1  a 2 z 2 , y  k   x  k   2ax  k  1  a 2 x  k  2 . Шкала 2. Фазово-частотная характеристика для комплексной пары полюсов в точках z  a 1  j  2 и нуля второго порядка в точке z = 0. H  z   y  k   x  k   2ay  k  1  a 2 y  k  2 . 3 1 1  2az 1  a 2 z 2 , Цифровая обработка сигналов; лекция 3 апреля 2017 г. МФТИ В случае комплексных пар нулей для физической реализуемости передаточная функция должна включать пару полюсов в точке z = 0. Точно также для минимальной фазовой задержки комплексная пара полюсов дополняется парой нулей в точке z = 0. Из рис. 4.8 видно, что фазовая характеристика линейна, когда комплексные парынулей или полюсов лежат на единичной окружности. 4.8. Цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой Цифровой фильтр, который описывается передаточной функцией в виде полинома N 1  N 1 H  z   h0  h1z 1  ...  hN 1z     h  k  z k (4.18) k 0 называется цифровым фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХфильтром). Импульсная характеристика h(k) имеет N отсчетов. Такие фильтры широко используются на практике. Важным примером КИХ-фильтра является трансверсальный фильтр (см. рис. 4.11). Основные достоинства КИХ-фильтров:  легко создавать КИХ-фильтры с линейной фазовой характеристикой;  КИХ-фильтры можно строить как по рекурсивной, так и по нерекурсивной схемам;  при нерекурсивной реализации КИХ-фильтр всегда устойчив;  при рекурсивной реализации шумы округления из-за конечного числа разрядов можно минимизировать. Недостатки КИХ-фильтров: 1. для получения частотных характеристик А(ω) с крутыми срезами импульсная характеристика должна иметь большое число отсчетов H  ω   h  k  exp  jωk t  ; k это выражение имеет вид усеченного ряда Фурье; если А(ω) = |Н(ω)| имеет крутые срезы, то слева и справа от этого среза возникают колебания, обусловленные явлением Гиббса; 2. задержка в КИХ-фильтрах с линейной фазовой характеристикой не всегда равна целому числу тактов дискретизации Δt, что иногда нежелательно. 4.8.1. КИХ-фильтры с линейной фазовой характеристикой Рассмотрим, при каких условиях для h(k) КИХ-фильтр имеет линейную характеристику     ω  arg H z  e jωt  qωt  q2πω ωД , ω  ωД 2 , (4.17) где qΔt – фазовая задержка, выраженная через интервал дискретизации. Пусть h(k) – действительная последовательность, тогда для линейной ФЧХ N 1  h  k  e jωk t  H  e jωk t  eqωk t . k 0 Приравнивая действительные и мнимые части, получаем H  ω  Cos  qωt   N 1  h  k   Cos  ωk t  , k 0 4 Цифровая обработка сигналов; лекция 3 апреля 2017 г. МФТИ H  ω  Sin  qωt   N 1  h  k   Sin  ωk t  . k 0 Разделим второе равенство на первое: N 1 Sin  qωt  Cos  qωt    h  k  Sin  ωk t  k 0 N 1  h  k   Cos  ωk t  . k 0 Найдем q. Имеются два возможных решения: 1. q = 0. Тогда h(0) произвольна, а h(k) = 0 при k ≠ 0 (одиночный импульс). Этот случай не представляет интереса. N 1 2. q ≠ 0. Тогда  h  k  Sin   q  k  ωt   0 . k 0 Левая часть есть усеченный ряд Фурье по нечетным базисным функциям, поэтому решение возможно при q = (N – 1)/2 и h(k) = h(N – 1 – k), 0 ≤ k ≤ N – 1, (4.18) т.е. если импульсная характеристика обладает четной симметрией на интервале [0, N – 1]. Таким образом, для каждогоN существует только одна фазовая задержка qΔt, при которой достигается линейная фазовая характеристика. Если N – нечетное, то q – целое, и задержка в фильтре qΔt равнацелому числу тактов дискретизации. Если N –четное, то задержка в фильтре равна нецелому числу тактов Δt. Это отражено на рис. 4.9. а) N=7, q=3 1 2 б) N=6, q=2,5 h(k) 3 4 5 6 k 1 h(k) 2 3 4 5 k Рис.4.9. Пример импульсной характеристики с четной симметрией на интервале N а) нечетноеN, б)четноеN Условие (4.17) линейности фазовой характеристики требует, чтобы фильтр имел постоянную фазовую τф = Ф(ω)/ω = –qΔtи групповую τгр = dФ(ω)/dω = –qΔt задержки в полосе [–ωД, ωД]. Еще один тип фильтра с линейной фазой определяется, если потребовать постоянной только групповую задержку. В этом случае j β  qωt  H  ω  H  ω е  и фазовая характеристика является кусочно-линейной функцией частоты. Единственное решение, аналогичное (4.18), получается при q = (N – 1)/2, β = π/2 и h(k) = – h(N – 1 – k), 0 ≤ k ≤ N – 1. (4.19) Фильтры, удовлетворяющие (4.19), также создают задержку (N –1)·Δt/2, но их импульсные характеристики в отличии от предыдущего случая обладают нечетной симметрией на интервалN (рис. 4.10). При этом для нечетного N обязательно выполнение условия h[(N – 1)/2] = 0. 5 Цифровая обработка сигналов; лекция 3 апреля 2017 г. МФТИ а) N=9, q=4 1 2 б) N=6, q=2,5 h(k) 3 4 h(k) 0 1 2 5 6 5 6 4 7 8 k k Рис. 4.10. Примеры h(k) с нечетной симметрией на интервале N. а) нечетное N, б) четное N 4.8.2. Расположение нулей передаточной функции КИХ-фильтров с линейной фазой Запишем передаточную функцию в виде H z  N 1 N 1 k 0 k 0  N 1 N 1 k  h  k  z k  z    h  k  z  и определим независимую переменную m = N – 1–k. Тогда N 1  N 1 H  z   z    h  N  m  1 z m . m 0 Если h(k) = h(N – 1 – k), т.е. если импульсная характеристика обладает четной симметрией, то N 1    N 1 H  z   z    h  m  z 1 m 0 m    N 1  z   H z 1 . Из этого выражения видно, что нули H(z) являются нулями H(z–1). Отсюда следует, что нули передаточных функций КИХ-фильтров с линейной фазой обладают свойствами: а) Если z = а – вещественный нуль H(z), то и z –1 = 1/а также нуль функции H(z). Это взаимно обратные вещественные нули. б) Если z = еjΦ – нуль функции H(z), где Ф ≠ 0 и Ф ≠ π, то z –1 = е jΦ также нуль H(z). Это комплексно сопряженные пары нулей. H(z) имеет поэтому вид.   H  z   1  z 1e j 1  z 1e j  в) Если z = rе – нуль функции H(z), где r≠ 1, Ф ≠ 0 и Ф ≠ π, то z* = rе–jΦ, z–1 = (1/r) е-jΦ и z–1 =rе-jΦ, (z–1)* = (1/r) еjΦтакже нули функции H(z) , которая имеет вид jΦ     H  z   1  re j z 1 1  re j z 1 1  1 r  e j z 1 1  1 r  e j z 1 а) б) jImz в) jImz Rez a Rez 1/a 6  jImz Rez Цифровая обработка сигналов; лекция 3 апреля 2017 г. МФТИ Задачи к лекции 03 апреля 2017 г. 1. Фильтр описывается разностным уравнением y  k   ay  k  1  x(k ), y  1  0. Найти импульсную характеристику фильтра и определить условия устойчивости и физической реализуемости. 2. Определить отклик на единичный импульс и дискретную функцию включения фильтра, разностное уравнение которого y  k   0,5 y  k  1  x(k ), y  1  0. 3. Найти последовательность по заданному z-преобразованию 1  z 1  z 2 X  z  . 1  z 1 7