Симметрия и законы сохранения

Существенную роль в процессе понимании и исследования механизмов взаимодействия между элементарными частицами, их образования и последующего распада сыграли законы о сохранении. Такие законы являются определяющими для правил отбора, ориентированным на процессы с частицами. Эти процессы нарушают законы сохранения, при этом в определенных видах взаимодействий они происходить не могут.

В физике микромира (в качестве дополнения к законам сохранения, актуальным для макромира) учеными обнаружены новые законы. Эти законы сохранения позволяют дать объяснение наблюдаемым экспериментальным закономерностям.

Законы сохранения энергии

Законы сохранения представляют результат обобщений экспериментальных наблюдений. Часть из них учеными была открыта вследствие того, что распады или реакции, разрешенные всеми известными ранее законами сохранения, или оказывались сильно подавленными, или не наблюдались. Так физики открыли законы сохранения барионного и лептонного зарядов и др.

Согласно положениям классической механики, производную от некоторой механической величины $F$ можно выразить посредством классической скобки Пуассона:

$\frac{dF}{dt}=\frac{dF}{dt}+[HF]$

При переходе от классических величин к квантовым получается следующая формула:

$\hat {F}=\frac{d\hat{F}}{dt}+[HF]$

Из этого следует, что квантовая механическая величина $\hat{F}$ будет являться интегралом движения, если:

• не наблюдается зависимость оператора $\ hat{F}$ от времени явно;
• оператор $\ hat{F}$ будет коммутировать с оператором Гамильтона.

Тогда $\bar{F}=0$

Выразим производные $\frac{d}{\psi}$ и $\frac{d\psi}{dt}$ через волновые функции посредством уравнения Шредингера:

$ih\frac{d\psi}{dt}=\hat{H}\psi$

Таким образом, если известны операторы разных квантовых механических величин, а также оператор Гамильтона для системы, то можно получить величины, которые сохраняются в процессе ее движения.

В каждом случае, при инвариантности законов относительно какой-то из операций симметрии $U$ существует сохраняющаяся физическая величина, соответствующая ей. Законы симметрии устанавливаются на базе эксперимента. Оператор $\hat{U}$, описывающий определенную симметрию системы, должен будет коммутировать с описывающим систему Гамильтонианом:

$\hat{U}\hat{H}=\hat{H}\hat{U}=0$

Условие независимости для законов движения системы от выбора изначального отсчета времени выражается при этом в коммутации на малый интервал времени

$\hat{F}(\sigma t)$

с оператором Гамильтона

$\hat{F}\hat{H}=\hat{H}\hat{F}(\sigma t)$

Это соответствует закону о сохранении энергии в замкнутой системе (в стационарных внешних полях).

Изотропия пространства связана с сохранением момента количества движения. Следствием коммутации операторов $\hat{v}z$ с оператором Гамильтона выступает закон о сохранении момента количества движения. Учет квантовых закономерностей приводит к таким важным последствиям:

• квантовании момента количества движения $J$;
• наличию у частицы собственного момента количества движения (спин $s$);
• сохранение импульса взаимосвязано с однородностью пространства.

Симметрия в законах сохранения

Согласно выводам физиков, каждый закон сохранения взаимосвязан с определенной симметрией в окружающем нас пространстве. Это доказывает теорема Нетер. Данная теорема была доказана в 1918 г. Впервые она представлена в работах ученых: Э. Нетер, Д. Гильберта и Ф. Клейна.

Так, законы о сохранении импульса и энергии взаимосвязаны с однородностью пространства и времени. Закон о сохранении момента количества движения непосредственно связан с симметрией пространства относительно вращений.

Законы о сохранении зарядов взаимосвязаны с симметрией законов физики относительно специальных преобразований, которые описывают частицы.

Результатом действия законов сохранения выступает постоянство таких частиц, как антипротон и протон. Они считаются наиболее легкими частицами с барионными зарядами $B=1$ и $B=-1$ соответственно. Также стабильными частицами являются электрон и позитрон, поскольку они самые легкие (с электрическим зарядом $Q=-1$ и $Q=1$ соответственно). Нейтрино и антинейтрино также относятся к стабильным, являясь самыми легкими носителями лептонных зарядов.

Первая и вторая теоремы Нетер

Существуют первая и вторая теоремы Нетер. Первая теорема Нетер заключается в следующем. Если интеграл действия $S$ будет инвариантным в отношении некоторой $r$, то $r$ линейно независимых комбинаций для лагранжевых производных (левые части из уравнений Лагранжа-Эйлера) обращаются в дивергенции. Таким образом, можно говорить об инвариантности $S$ в отношении к определенной группе $G_r$.

В теоретической физике те выражения, которые стоят под знаком дивергенций, называют токами. При нулевом значении лагранжевых производных (выполняются уравнения Эйлера) дивергенции токов обращаются в нуль.

Следствием этого выступают дифференциальные законы сохранения. Интегральные законы сохранения, аналогичные закону сохранения электрозаряда или энергии, получаются при условии интегрирования дифференциальных законов по трехмерной гиперповерхности.

Согласно первой обратной теореме Нетер, если $r$ линейно независимых комбинаций для лагранжевых производных обращаются в дивергенции, интеграл действия будет инвариантным относительно $r$-параметрической конечной группы.

Обобщением первой теоремы Нетер (для функционалов), инвариантных в отношении произвольных бесконечных групп выступает вторая теорема Нетер. При инвариантности интеграла действия $S$ d в отношении некоторой $r$- параметрической бесконечной группе, где встречаются производные до $k$-го порядка включительно, имеет место $r$ - тождественных соотношений. Эти соотношения возникают между лагранж-производными и производными от них до $k$-го порядка.

Согласно второй обратной теореме Нетер, если наблюдается $r$ тождественных соотношений между лагранж-производными и производными от них включительно до $k$-го порядка, интеграл действия инвариантен в отношении бесконечной группы. Преобразования данной группы содержат производные до $k$-го порядка.