Визуализация численных методов, решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Введение

Дифференциальным уравнением является уравнение, которое связывает значение некой функции в определённой точке и величины производных от неё разных порядков в этой же точке. Дифференциальные уравнения впервые появились из механических задач, где были задействованы координаты тел, скорости и ускорения их перемещения, воспринимаемые как временные функции. В состав дифференциального уравнения входят неизвестная функция, производные от неё и другие переменные. Методика решения дифференциального уравнения заключается в его интегрировании. Все дифференциальные уравнения могут быть классифицированы следующим образом:

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Содержат лишь функции одного аргумента и производные от них.
2. Уравнения имеющие частные производные (УРЧП). Содержат функции, зависящие от нескольких переменных.
3. Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ). В их состав входят случайные процессы.

Постановка задачи

Рассмотрим в качестве примера решение методами Рунге-Кутта и Эйлера модифицированной задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка на интервале [X0; Xk] при шаге h и с начальными условиями: Y(X0) = Y0.

Ответ следует оформить в табличном итоговом формате:

Рисунок 1. Таблица. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Здесь Y1, Y2 являются решениями, которые получены разными численными способами, а YT является точным решением дифференциального уравнения. Можно также представить итоги решения не в табличном формате, а как списки. Для табличных данных можно выполнить визуализацию, представив их как графики.

Прежде чем начать вычисление последнего столбца табличных результатов, нужно из начального условия отнять величину коэффициента с, применяемого в обобщённом решении.

Рисунок 2. Таблица. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Методы решения

Для решения обыкновенного дифференциального уравнения, нужно знать величину зависимой переменной и (или) её производных при определённых величинах независимой переменной. Когда эти добавочные условия заданы при одной величине независимой переменной, то эта задача считается задачей при известных начальных условиях, то есть это задача Коши. Иногда в задаче Коши в качестве независимой переменной является временной параметр.

Задача Коши формулируется так:

Задано дифференциальное уравнение при начальных условиях $y(x_0) = у_0$. Необходимо определить функцию у(x), которая удовлетворяет заданному уравнению и начальным условиям. Численный вариант решения задачи Коши можно свести к табулированию функции, которую нужно определить.

Графическое отображение решения дифференциального уравнения определяется как интегральная кривая.

Геометрическое отображение задачи

Выражение y’ = f(x,y) является тангенсом угла наклона касательной по отношению к графическому решению в точке (х, у) к оси Х, то есть угловым коэффициентом. График представлен на рисунке ниже:

Рисунок 3. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Наличие решения:

Когда правая сторона f(x, y) является непрерывной в заданной области R, которая определяется неравенствами:

$|x-x_0|$

то есть, по крайней мере, единственное решение у = у(х), которое определяется в границах:

$|х – х_0|$

Здесь h является положительным числом.

Это решение будет единственным, когда в R выполняется условие Липшица

$|f(x,y)-f(x,y)| ≤N|y-y|(x,y)$.

Здесь N является некоторой постоянной, называемой константой Липшица, которая зависит, в общем смысле, от а и b.

Когда f(x, у) обладает ограниченной производной f’y(x, y) в области R, то возможно предположить, что N = мах |f’y(х, у)| при (х, y) , которые находятся в области R.

Численные методы решения задачи Коши

Когда применяются численные методы, осуществляется замена участка $[х_0, X]$, который является областью непрерывного изменения аргумента х множеством $W^h$, составленным из не бесконечного количества точек $х_0$

Рисунок 4. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Задача Коши, сформулированная раньше на непрерывном отрезке $[х_0, X]$, подменяется её аналогией в дискретном варианте, а именно системой уравнений , при решении которой имеется возможность поочерёдно определить значения $y_1, y_2,…,y_n$. Это будут примерные величины функции в сеточных узлах:

Рисунок 5. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Числовое решение задачи Коши повсеместно используется в разных научных и технических сферах, и количество сформированных для него способов достаточно большое. Их можно разделить на ряд групп:

1. Способы одного шага. В них для определения очередной точки на графике у = f(x) нужно знать только данные о предшествующем шаге. Одношаговыми считаются методы Рунге – Кутта, а так же Эйлера.
2. Многошаговые методы. В них для определения очередной точки на графике у = f(x) нужно обладать информацией больше чем об одной предшествующей точке. Для получения уточнённого числового значения, можно использовать итерацию. К таким методам можно отнести методику Милна, Адамса – Башфорта и Хемминга.
3. Явные методики. В них функция является независимой от $y_{n+1}$.
4. Неявные методики. В них функция является зависимой от от $y_{n+1}$.

Модифицированный метод Эйлера

Чтобы уменьшить вычислительную погрешность иногда применяется модифицированный метод Эйлера. Он также определяется как метод Эйлера – Коши или метод Рунге-Кутта, который имеет второй порядок точности. Имеем дифференциальное уравнение первого порядка y’ = f(x,y) при начальных условиях $y(x_0) = y_0$. Пусть величина шага равна h и есть следующие обозначения:

• $x_i = x_0 + i.h$ и $y_i = y(x_i)$ , здесь i = 0, 1, 2, …,
• $x_i$ обозначают сеточные узлы,
• $y_i$ является величиной интегральной функции в узлах.

Когда применяется модифицированный метод Эйлера нужно шаг h делить на пару отрезков. Графическое отображение метода представлено на рисунке ниже:

Рисунок 6. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ