Троичная система счисления числа — это система счисления, основанная на целом числе три и позиционном задании разрядов.
Общие сведения
Базой для большинства вычислений, как несложных житейских, так и очень сложных математических, считается десятичная система счисления. Популярность троичной системы гораздо ниже, поскольку используется она в очень редких случаях. Большинство людей почти никогда не сталкивается с другими системами счисления, и им поначалу непросто абстрагироваться от обычных терминов типа, десятки, сотни и тому подобное.
Есть некоторое количество характеристик, которые присущи любой системе счисления. Это:
- Её основание.
- Алфавитные показатели.
- Цифры разрядов.
- Слагаемые разрядов.
В название всех систем счисления заложено их основание, то есть в троичной системе основанием является тройка, а в десятичной десять (справедливо и обратное утверждение, в названии системы счисления заложено её основание).
Алфавит системы счисления — это символьный комплект, который в нашем конкретном случае применяется для отображения чисел. К примеру, десятичная система использует десять цифровых символов (учитывая ноль), двоичная всего два (ноль и единицу), а троичная — три (ноль, один и два).
Разрядная цифра — это самое маленькое число, которое возможно прибавить в разряде, а разрядное слагаемое — это цифра, которая записана в конкретном разряде и с требуемым числом нолей.
Самое большое допустимое число разрядного слагаемого определяется системой счисления. Если взять восьмеричную систему, то второй её разряд может быть максимум 70, в двоичной системе это будет 10, в десятичной 90, а в троичной 20. Например, при разложении десятичного числа 256 на слагаемые разрядов, получим такое выражение: 200+50+8 (три разряда).
Троичная система счисления
Троичная система счисления может использовать обычные цифры 0,1,2, и в этом случае она позиционируется как несимметричная. В симметричной троичной системе применяются знаки «плюс» и «минус», то есть в обозначениях применяется число "-1". Другие его обозначения, это единица и сверху или снизу черта, или в виде буквы латинского алфавита i. Кроме того, цифры троичной системы, возможно представить в виде кодов с помощью трёх разных символов, к примеру "А, Б, В", но прежде надо указать их достоинство (например, А меньше чем Б, а Б меньше чем В).
Для перевода любого числа из десятичной системы счисления в троичную, можно использовать обобщённый алгоритм. Надо выполнять операцию деления десятичного числа на основание нужной нам системы (в нашем случае три) и писать остатки с правой стороны на левую. В качестве примера берём число тридцать. Сначала делим его на три и получаем в результате десять без остатка. Значит пишем ноль. Далее десять делим на три, получаем три и один в остатке, пишем один. И наконец три делим на три, после чего пишем в результат сначала остаток (ноль), а затем итог деления (единицу). Получилось следующее число в троичной системе счисления 1010.
Арифметические действия
Электронная вычислительная машина быстро и просто выполняет вычислительные процедуры в удобной для неё двоичной системе счисления, а человеку непросто переориентировать свой образ мысли, поскольку для людей базовой является десятичная система счисления.
Троичная система счисления более ёмкая в сравнении с двоичной, и процесс вычислений в ней более сложный, но в любой позиционной системе счисления может быть использована таблица сложения. Наверное, всем известен принцип организации сетки в игре «морской бой». По вертикали в левом столбике пишутся цифры, а вверху в горизонтальном столбике пишутся буквенные символы.
Составить сетку для операции сложения в троичной системе возможно на этом же принципе. К примеру, если взять несимметричную троичную систему, состоящую всего из трёх символов, то необходимо построить четыре столбца, в каждом из которых будет вписана последовательная цепочка цифр. Например, запишем нижний столбец по горизонтали в виде 0, 00, 01, 02. Второй столбец 1, 01, 02, 10, а третий будет 2, 02, 10, 11. Возможно расширение таблицы, если есть необходимость в числах других разрядов (к примеру, 001 и так далее). Рассмотрим умножение. При использовании троичного счисления таблица умножения получается более лаконичной и короткой, по сравнению с десятичной, а сама операция не очень сложная, поскольку перемножаются числа не более цифры два. Для умножения в столбик, нужно расположить два числа в троичном коде одно над другим, а далее поочерёдно умножать первый множитель на числа каждого разряда другого, не учитывая ноль. То есть получается перемножение чисел 102 на 101 можно представить как 2 • 1 = 2, 0 • 1 = 0,1 • 1 = 1. Пишем число 102. Затем опускаем ноль и перемножаем на один (это старший разряд второго множителя).
Впрочем, сложение в троичной системе счисления возможно выполнить без применения таблиц. Необходимо только освежить в памяти несложное правило, которое гласит, если результат сложения больше разряда, надо разделить второе число на два. Для примера выполним простую операцию сложения 6+8. Результат операции больше данной разрядности, значит надо разделить восемь пополам, что даёт в итоге 4. В итоге все выполненные действия можно представить в следующем виде: 6 + 8 = (6 + 4) + 4 =10 + 4 =14.
У троичной системы нечётное основание, поэтому присутствует симметричное положение цифр по отношению к нолю (-1, 0, 1), что даёт некоторые интересные особенности. В частности, отрицательные числа в троичной системе имеют более естественную форму и нет проблемы округления.
Экскурс в историю
Следует отметить, что даже обычные бытовые расчёты не всегда делались в десятичной системе счисления. Троичной системой иногда пользовались ещё древние шумеры. У них применялись меры весов и денег кратные трём. Ещё с древнего времени и по сей день рычажные весы оснащены подобием троичной системы. Знаменитый итальянский учёный Фибоначчи ещё в своё время предложил целочисленную симметричную троичную систему счисления. Как отметил известный французский учёный О.Л. Коши, таблица умножения в этой системе получилась короче примерно в четыре раза, если сравнивать с десятичной системой.
