Римская система счисления — это система счисления, использующая для обозначения чисел латинские символы и, при этом, значение числа не зависит от позиции символа.
Римская система счисления: сущность и особенности
Основным моментом, на который необходимо обратить главное внимание при анализе римской системы счисления, является её принадлежность к разряду непозиционных систем. То есть в этой системе расположение цифры в ряде символов написания числа не влияет на его величину. И также необходимо принять во внимание, что при этом число записывается при помощи символов латинского алфавита. Способ представления чисел римской системы чем-то похож на греческую нумерацию в её исходном варианте. При этом применяется конкретное кодирование для чисел $1 (I), 10 (X), 100 (C), 1000 (M)$, а также для $5 (V), 50 (L), 500 (D)$.
Эти характерные особенности считаются узловыми. Благодаря их применению есть возможность записи любого числового значения. До момента формирования знакомого почти всем сегодня облика цифр, римские обозначения подвергались множеству изменений. При внимательном рассмотрении символов, можно заметить аналогию "I" с палочкой, "V" – с раскрытой рукой, "X" - с двумя скрещенными руками. Существует и альтернативное понятие, которое заключается в том, что цифры от единицы до девяти можно представить, как набор соответствующего числу количества вертикальных палочек. Но, чтобы записать число десять, десятую палочку применяли для перечёркивания девяти предыдущих и связывания их в десяток. А, чтобы избежать применения большого числа таких палочек, стали использовать символ Х, то есть фактически перечеркнули одну палочку. Цифра V (5) образовалась как половинка символа Х. То есть десять разделить на два будет пять, а Х разделить пополам будет V. Но, если надо записать число сто, то палочки перечёркивали два раза или применяли круг с точкой внутри. И также, чтобы обозначить число пятьдесят, использовали половину такого обозначения. Кроме этого, символы С и М, которые соответствуют числу сто и числу тысяча, можно связать с наименованиями сотен и тысяч. Например, М (миле) соответствует пути, который равен тысяче шагов.
Существует методика, которая облегчает операцию запоминания чисел в символах латинского алфавита, расположенных в порядке убывания.
Мы Dарим Сочные Lимоны, Xватит Vсем
$(M - 1000, D - 500, C - 100, L - 50, X – 10, V - 5)$.
Правила записи в римской нумерации
Древние римляне записывали необходимые числа так, чтобы сумма символов, обозначающих цифры, была равна этому числу. Например, число восемь писалось как пять и три единицы VIII, а число триста восемьдесят два отображается как CCCLXII. Причём сначала идут цифровые символы, имеющие больший вес, а затем идут цифры с меньшим значением. Но если всё-таки цифра с меньшим значением стоит перед более весомой цифрой, то это означает, что итоговый результат предполагает вычитание.
К примеру, представление числа четыре как IV, надо понимать, как пять минус один. Число девять, обозначенное как IX, подразумевает действие десять минус один. Или, если записано XC, то надо от ста отнять десять и получить в итоге девяносто. Однако необходимо помнить, что перед цифрой с большим значением можно расположить лишь одну меньшую цифру. Например, обозначение IV соответствует правилам, а IIV будет считаться некорректным представлением. Если же рядом расположены цифры с одинаковым значением, то они также суммируются. Например, СС обозначает число двести, а ХХ соответственно двадцать.
Однако есть ещё правило в римской системе счисления, что одна цифра не должна повторяться более трёх раз подряд. Ещё необходимо учитывать, что символы V, L, D нельзя писать раздельно друг от друга более одного раза. Например, DC и DL считается правильным выражением, а VV будет уже грубой ошибкой. И ещё, касательно расположения символа меньшего числа перед большим числом, правилами допускается лишь I, X, C.Например, IX будет правильным форматом записи, а VX это уже неправильный формат.
В варианте числа, когда впереди большей цифры расположена цифра меньше по значению, далее возможно расположить лишь цифру, которая ещё меньше первой. Например, CDX соответствует этому правилу, а выражение CDC будет уже ошибочным. Существует также и такое правило, символ, явившийся меньшей цифрой перед большей, не должен повторно применяться (слева направо) в написании этого числового значения. Исключением является только случай, когда эта цифра будет большей цифрой перед меньшей. То есть выражение CDXC будет верным, а CDCC уже нарушает правила написания.
Необходимо запомнить, что цифра с большим значением, стоящая перед цифрой с меньшим значением означает отрицательный вклад в суммарный результат написанного числа. Максимальное число, которое возможно выразить при помощи римской системы счисления, будет сто тысяч. Это явилось причиной того, при крупных денежных суммах такие выражения, как сотни тысяч, просто не использовались. При необходимости обозначить миллион, применялось выражение десять тысяч сотен. Владение общей методикой представления римских числовых значений позволяет сегодняшним специалистам легко идентифицировать старинные записи вида MDCCCXLIV, которая означает 1844.
Особенности арифметических операций
В выполнении операций вычитания и сложения нет никаких особенных сложностей. Например, XIX + XXVI = XXXV, необходимо лишь учесть очерёдность выполнения действий:
- IX +VI = XV. Это объясняется тем, что I, который стоит за цифрой V, просто уничтожает I перед X.
- X+ XX = XXX. При добавлении ещё одной десятки Х, в итоге получим ХХХХ, что означает XL.
Операция вычитания выполняется так же легко. Например, 500 – 283 предполагает представление уменьшаемого в виде мелких составляющих. И, чтобы получить итоговый результат надо всего лишь сократить символы, присутствующие в уменьшаемом.
D – CCLXIII = CCCCLXXXXVIIIII – CCLXIII=CCXXXVII
Для выполнения операции умножения, римляне должны были множимое умножать по очереди на все цифры, составляющие множитель, а затем сложить все найденные произведения.
