Данная система относится к непозиционной системе счисления, использующей для записи чисел буквы латинского алфавита.
Обозначение чисел
Обозначение чисел в Древнем Риме напоминало первый способ греческой нумерации. Римлянами были приняты специальные обозначения не только для чисел 1, 10, 100 и 1000, но и для чисел 5, 50 и 500. Римские цифры выглядели следующим образом:
Рисунок 1.
Представленные в таблице семь чисел называли узловыми и с их помощью можно было записывать любые многозначные числа. Изначально написание римских цифр несколько отличалось от тех цифр, которыми мы привыкли оперировать в настоящее время. Их внешний вид со временем претерпел небольшие изменения.
По поводу происхождения римских цифр ученые до сих пор ведут споры. Существует несколько взглядов на данную проблему. Если присмотреться внимательнее к цифрам 1, 5 и 10, то можно заметить, на что они похожи:
знак I – на палочку;
знак V - на раскрытую руку;
X – на две скрещенные руки.
Но существует и другое объяснение этому факту.
Изначально числа от 1 до 9 изображались соответствующим количеством вертикальных палочек. Для изображения десятка делали следующее: нарисовав 9 палочек, десятой их перечеркивали. Чтобы не писать много палочек, перечеркивали одну. Так появилось изображение знака X. Изображение же знака V (число 5) получили путем разрезания знака X (число 10) пополам. В свою очередь, соседний с римлянами народ этруски, который был завоеван Римской империей, употреблял для написания числа 5 нижнюю часть символа X, а сами римляне использовали верхнюю.
При обозначении числа 100 перечеркивали палочку дважды или использовали изображение кружка с точкой внутри. Очевидно, 50 обозначалось половиной этого знака.
Не утихают и споры ученых по поводу происхождения других римских цифр, Вероятнее всего, обозначения C и M связаны с римскими названиями сотни и тысячи. Тысячу римляне называли «милле» (слово «миля» когда-то обозначало путь в тысячу шагов).
Для легкого запоминания буквенных обозначений цифр в порядке убывания используют мнемоническое правило:
Mы Dарим Cочные Lимоны, Xватит Vсем Iх
Что соответствует M,D,C,L,X,V,I.
Правила записи чисел
При обозначении цифр римляне записывали такое их количество, чтобы их сумма достигала требуемого числа. Например, число 8 они записывали как VIII, а число 382 как: CCCLXXXII. При написании данного числа можно отметить, что в начале пишутся большие цифры, а только потом маленькие.
Однако иногда римляне делали обратное, т.е. меньшую цифру ставили перед большей, это значило, что требуется не складывать, а вычитать.
Например, число 4 обозначалось IV (без одного пять), а число 9–IX (без одного десять). Запись XC обозначала 90 (без одного сто). Перед цифрой, большей по значению, могла стоять только одна цифра, меньшего значения (IV – верная запись числа, IIV – неверная запись).
Если рядом стояли две одинаковые цифры, то их значения складывались. Например: CC–200, XX–20. Причем, одна и та же цифра не могла быть написана подряд более трех раз.
В любом числе одни и те же цифры V, L, D не могли использоваться отдельно друг от друга более одного раза (DC и DL – верная запись чисел, VV – неверная запись числа).
Другим правилом является то, что если перед цифрой, большего значения, стоит цифра, меньшего значения, то последняя может быть представлена только одной из цифр I, X, C (IX – верная запись числа, VX – неверная запись).
Если же перед цифрой, большего значения, стоит цифра, меньшего значения, то после большей цифры в этой паре может стоять цифра, имеющая значение меньше того, которое имеет меньшая цифра пары (CDX – верная запись числа, CDC – неверная запись).
Если цифра упоминалась в числе как меньшая, находящаяся перед большей, то она не могла использоваться ещё раз (если читать слева направо) в этом числе, кроме тех ситуаций, когда она выступала в роли большей цифры, следующей за меньшей (CDXC – верная запись числа, CDCC - неверная запись).
В случае, когда за цифрой с большим значением следовала цифра с меньшим, ее вклад в значение числа в целом являлся отрицательным. Примеры, которые иллюстрируют общие правила написания чисел в римской системе счисления, приведены в таблице:
Рисунок 2.
Самое большое число, которое могли обозначить римляне, было 100000. Поэтому обычно в названиях крупных денежных сумм слова «сотен тысяч» опускались. Запись означала 10 тыс. сотен, т.е. миллион.
Мы привели несколько правил написания чисел, которые использовались в римской системе счисления. Так что, если вы теперь, путешествуя где-то в Европе, заметите на старинном здании надпись римскими цифрами MDCCCXLIV, то легко сможете определить, что он построен в 1844 году.
Правила выполнения арифметических операций с числами
Сложение и вычитание.
Сложить два римских числа достаточно просто. Например:
XIX+XXVI=XXXV
Сложение выполняется в следующей последовательности:
а) IX+VI=XV (I после V "уничтожает" I перед X);
б) X+XX=XXX (при добавлении еще одного X, получаем XXXX, или XL).
Сложность вычитания римских чисел приблизительно такая же. Например, для вычитания из 500 числа 263 уменьшаемое число необходимо для начала разложить на более мелкие составляющие, а затем сократить повторяющиеся в уменьшаемом и вычитаемом знаки:
D−CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIII−CCLXIII=CCXXXVII
Умножение.
С умножением дело обстояло гораздо сложнее.
Допустим, требовалось умножить 126 на 37 (у римлян знаков действий не было, названия действий писали словами).
CXXVI⋅XXXVII
Приходилось умножать множимое на каждую цифру множителя отдельно, а затем складывать все произведения.
Такая техника выполнения умножения аналогична умножению многочленов.
Деление.
Выполнение деления было очень сложным в римской системе счисления. Для этого использовался специальный инструмент – абак (древние счеты). Только высоко образованные люди умели и могли работать с ним.
Использование римской системы счисления
Хотя римская нумерация была не совсем удобной, однако она распространилась по всей ойкумене – так называли древние греки известный им обитаемый мир. Римляне – это завоеватели, они поработили и подчинили себе многие страны, что привело к росту их империи. С порабощенных народов они собирали огромные налоги, а для этого им необходимо было пользоваться обозначениями чисел. Поэтому жителям этих стран приходилось, проклиная своих поработителей, учить римскую нумерацию. И даже после крушения Римской империи, в деловых бумагах Западной Европы осталась применяться эта неудобная нумерация. Неудобна она тем, что выполнять арифметические действия с многозначными числами в этой системе тяжело. И все-таки римская нумерация использовалась в Италии до 13 века, а в других странах Западной Европы до 16 века.
Недостатком римской системы счисления стало то, что у нее отсутствуют формальные правила записи чисел и, соответственно, правила арифметических действий с многозначными числами. В связи с тем, что система не совсем удобна и сложна, в настоящее время мы ее используем только там, где это действительно удобно: для нумерации глав и томов в литературе, для определения веков и порядковых номеров монархов в истории, при оформлении ценных бумаг, для маркировки циферблата часов и в ряде других случаев.