Единичная система счисления
Необходимость в записи чисел стала возникать у людей еще в древности после того, как они научились считать. Свидетельством этого являются археологические находки в местах стойбищ первобытных людей, которые относятся к периоду палеолита (10-11 тыс. лет до н.э.). Изначально количество предметов изображали, используя определенные знаки: черточки, насечки, кружочки, нанесенные на камни, дерево или глину, а также узлы на веревках.
Рисунок 1.
Ученые эту систему записи чисел называют единичной (унарной), поскольку число в ней образовано повторением одного знака, который символизирует единицу.
Недостатки системы:
-
при написании большого числа необходимо использовать большое количество палочек;
-
возможно легко ошибиться при нанесении палочек.
Позднее, чтобы облегчить счет, эти знаки люди стали объединять.
С примерами использования единичной системы счисления можно встретится и в нашей жизни. Например, маленькие дети пытаются изобразить на пальцах сколько им лет, или же счетные палочки используют для обучения счету в первом классе.
Единичная система не совсем удобна, так как записи выглядят очень длинно и их нанесение довольно утомительно, поэтому со временем стали появляться более практичые в использовании системы счисления.
Вот некоторые примеры.
Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления
Данная система счисления появилась около 3000 лет до н.э. в результате того, что жители Древнего Египта придумали свою числовую систему, в которой при обозначении ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. были использованы иероглифы, что было удобным при написании на глиняных дощечках, которые заменяли бумагу. Другие числа составлялись из них с помощью сложения. Сначала записывалось число высшего порядка, а затем низшего. Умножали и делили египтяне, последовательно удваивая числа. Каждая цифра могла повторяться до 9 раз. Примеры чисел данной системы приведены ниже.
Рисунок 2.
Римская система счисления
Данная система принципиально не намного отличается от предыдущей и сохранилась до наших дней. В ее основе находятся знаки:
-
I (один палец) для числа 1;
-
V (раскрытая ладонь) для числа 5;
-
X (две сложенные ладони) для 10;
-
для обозначения чисел 100, 500 и 1000 использовались первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum – сто, Demimille – половина тысячи, Мille – тысяча).
При составлении чисел римляне использовали следующие правила:
-
Число равно сумме значений расположенных подряд нескольких одинаковых «цифр», образующих группу первого вида.
-
Число равно разности значений двух «цифр», если слева от большей стоит меньшая. В этом случае от значения большей отнимается значение меньшей. Вместе они образуют группу второго вида. При этом левая «цифра» может быть меньше правой максимально на 1 порядок: перед L(50) и C(100) из «младших» может стоять только Х(10), перед D(500) и M(1000) – только C(100), перед V(5)–I(1).
-
Число равно сумме значений групп и «цифр», не вошедших в группы 1 или 2 вида.
Рисунок 3.
Необходимо записать число 1986 в римской системе счисления.
Решение: 1986=1000+900+50+30+6=M+(M–C)+L+(X+X+X)+V+I=MCMLXXXVI,
где:
-
1000=M, 50=L, 6=V+I (отдельные «цифры»);
-
900=M–C (группа второго вида);
-
30=X+X+X (группа первого вида).
Римскими цифрами пользуются издревле: ими обозначаются даты, номера томов, разделов, глав. Раньше считал, что обычные арабские цифры можно легко подделать.
Алфавитные системы счисления
Данные системы счисления более совершенны. К ним относятся греческая, славянская, финикийская, еврейская и другие. В этих системах числа от 1 до 9, а также количество десятков (от 10 до 90), сотен (от 100 до 900) были обозначены буквами алфавита.
В древнегреческой алфавитной системе счисления числа 1,2,...,9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, и т.д. Для обозначения чисел 10,20,...,90 применялись следующие 9 букв а для обозначения чисел 100,200,...,900 – последние 9 букв.
У славянских народов числовые значения букв устанавливались в соответствии с порядком славянского алфавита, использовавшего изначально глаголицу, а затем кириллицу.
Рисунок 4.
Алфавитная система использовалась и в древней Руси. До конца XVII века в качестве цифр использовались 27 букв кириллицы.
Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:
-
Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.
-
Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.
-
Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.