Моделирование случайных величин по заданным законам распределения — это моделирование случайных величин на основании статистических методов построения выборочных распределений и выборочных числовых характеристик случайных величин.
Введение
Большим набором информативности, в сравнении с такими статистическими характеристиками как математическое ожидание, дисперсия, для специалистов имеет закон распределения вероятности случайной величины X. Предположим, что X может принимать случайные значения из определенного диапазона. К примеру, пусть X является диаметром обрабатываемой на станке детали. Диаметр способен иметь отклонения от заданной идеальной величины под воздействием разных факторов, которые не поддаются учету. По этой причине диаметр детали может считаться случайной слабо предсказуемой величиной.
Однако по итогам длительного наблюдения за изготовлением деталей можно определить, какое количество деталей из одной тысячи обладали диаметром $X_1$ (обозначим $NX_1$), какое количество деталей имело диаметр $X_2$ (обозначим $NX_2$) и так далее. В результате может быть построена гистограмма частоты диаметров, если откладывать для $X_1$ величину $NX_1/1000$, для $X_2$ величину $NX_2/1000$ и так далее.
Следует подчеркнуть, что если говорить точно, то NX1 является количеством деталей, диаметр которых не просто равняется X1, а расположен в пределах:
от $X_1 – Δ/2$ до $X_1 + Δ/2$.
Здесь:
$Δ = X_1 – X_2$.
Важным является тот факт, что сумма всех частот будет равняться единице, то есть, общая площадь гистограммы будет неизменной. Если X изменяется непрерывно, а опытов выполнено достаточно много, то в пределе N –> ∞, а гистограмма становится графиком распределения вероятности случайной величины. На рисунке ниже изображен пример гистограммы дискретного распределения (рисунок «а»), а на рисунке «б» изображен вариант непрерывного распределения случайной величины.
Рисунок 1. Распределение случайной величины. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В приведенном примере закон распределения вероятности случайной величины отображает насколько вероятно та или иная величина диаметра изготавливаемых деталей. Случайной величиной здесь выступает диаметр детали.
Моделирование случайных величин по заданным законам распределения
Поскольку законы распределения вероятности события могут иметь разную форму, а не только равновероятную, то нужно уметь преобразовать равномерный генератор случайных чисел в генератор случайных чисел, имеющий заданный произвольный закон распределения. Для этого непрерывный закон распределения вероятности события следует превратить в дискретный.
Введем следующие обозначения:
- $h_i$ является высотой i-го столбца;
- f(x) является распределением вероятности, то есть, эта функция может показать насколько вероятно наступление некоторого события x.
Значение $h_i$ операции нормирования нужно преобразовать в единицы вероятности появления значений x из интервала $x_i ∠ x ≤ x_i + 1$:
$ P_i = h_i/(h_1 + h_2 + … + h_i + … + h_n)$.
Процедура нормирования гарантирует суммарное значение вероятностей всех n событий, равному единице:
Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
На рисунке 3 показан в графическом формате переход от произвольного непрерывного закона распределения к дискретному (рисунок 3, а), значения полученных вероятностей на интервал $r_{рр}[0; 1]$ и генерация случайных событий с применением эталонного равномерно распределенного генератора случайных частот (ГСЧ) (рисунок 3, б).
аппроксимации. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ" />
Рисунок 3. Иллюстрация метода ступенчатой аппроксимации. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Следует отметить, что внутри интервала $x_i ∠ x ≤ x_i + 1$:величина x теперь является не различимой, то есть одинаковой. Метод делает грубее первоначальную постановку задачи, за счет перехода от непрерывного закона распределения к дискретному. Это означает, что необходимо учитывать число разбиений n из условий точности представления.
На рисунке ниже изображен фрагмент алгоритма, который реализует представленный метод.
Рисунок 4. Фрагмент алгоритма. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Алгоритм осуществляет генерацию случайного числа, равномерно распределенного от нуля до единицы. Далее, путем сравнения границ отрезков, которые расположены на интервале от нуля до единицы, определяющих вероятности P выпадения тех или иных случайных величин X, алгоритм должен определить в цикле, какое из случайных событий i в итоговом результате произойдет.
Метод усечения применяется в случае, когда функция задается в аналитическом формате, то есть как формула. График функции следует вписать в прямоугольник как показано на рисунке ниже.
Рисунок 5. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
На ось Y должно подаваться случайное равномерно распределенное число из генератора случайных чисел. На ось X также следует подать случайное равномерно распределенное число из ГСЧ. Когда точка в пересечении этих двух координат расположена ниже кривой плотности вероятности, то это означает, что событие X произошло, а в противном случае не произошло.
К недостаткам метода следует отнести тот факт, что те точки, которые находятся выше кривой распределения плотности вероятности, должны быть отброшены как ненужные, то есть, время, которое было затрачено на их определение, оказывается потраченным зря. Данный метод можно применять лишь только для аналитических функций плотности вероятности.
На рисунке ниже изображен алгоритм, который реализует метод усечения.
Рисунок 6. Алгоритм. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В цикле реализуется генерация двух случайных чисел из диапазона от нуля до единицы. Числа должны масштабироваться в шкалу X и Y и выполняется проверка попадания точки со сгенерированными координатами под график заданной функции Y = f(X). Когда точка расположена под графиком функции, то событие X произошло с вероятностью Y, в противном случае точка должна быть отброшена.
Метод взятия обратной функции заключается в следующем. Предположим, что существует интегральный закон распределения вероятности F(x), где f(x) является функцией плотности вероятности и есть зависимость:
Рисунок 7. Функция. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В таком случае будет достаточным разыграть случайное число, которое равномерно распределено в интервале от нуля до единицы. Так как функция F также может изменяться в данном интервале, то случайное событие x может быть определено путем взятия обратной функции по графику или аналитически:
x = F–1(r).
