Логические основы функционирования ЭВМ — это специальный аппарат математики, именуемый математической логикой, которая изучает использование математических методов для разрешения логических задач.
Алгебра логики
В электронных вычислительных машинах осуществляется не только арифметическая, но и логическая обработка информации. Логические схемы и модули ЭВМ базируются на специализированном математическом аппарате, а именно математической логике, где изучают проблемы использования методов математики для разрешения разнообразных задач логики. В ЭВМ применяется в основном первый раздел математической логики, а именно, алгебра логики, которая иногда именуется как исчисление высказываний.
Высказыванием является какое-либо сообщение (утверждение), которое может быть или истинным, или ложным. В алгебре логики имеет значение не содержание высказывания, а только его истинность или ложность. Какие-либо иные параметры высказывания в булевой алгебре не учитываются. Средствами грамматики разговорного языка несколько простых высказываний способны образовать сложное высказывание. Когда высказывание считается истинным, то это означает, что его величина равна единице. В случае ложного высказывания, его величина равна нулю. То есть, высказывания могут рассматриваться как переменные величины, значения которых могут быть равны только или нулю, или единице. Это означает полное соответствие логических высказываний математической логики двоичным цифрам двоичной системы счисления.
Все ЭВМ, которые выполняют арифметические операции в двоичном коде, могут считаться функциональными преобразователями. Входными переменными выступают исходные бинарные числа, а в качестве выходной функции будет обновлённое число в двоичном формате, которое получилось, как итог исполнения данной процедуры. Но и входные данные, и выходные функции могут быть равны только лишь нулю или единице. Для каждого конкретного случая число переменных на входе может быть разным. В самом простом случае на вход подаётся единственная переменная Х, которая может быть равна или нулю, или единице. В обобщённом варианте количество входных переменных может равняться $n$, то есть $X_1, X_2, ... ,X_n$. Но они тоже могут быть равны или единице, или нулю.
Функция $f (X_1, X_2, ... , X_n)$, которая определяется набором входных бинарных переменных $X_1, X_2, ... , X_n$, является логической функцией.
Представление логической функции в табличном формате
Как отмечалось выше, возможно разное число входных переменных логических функций. Поскольку все переменные могут принимать значение нуль или единица, то в итоге могут образоваться самые разные комплекты входных переменных. В алгебре логики доказано, что, если количество переменных равно n, то может быть образовано 2” наборов.
Например, если есть одна переменная Х, то для неё существует лишь два набора нуль или единица, так как $2^1 = 2$.
Для основных операций алгебры логики, а именно, логического умножения и сложения, таблицы истинности выглядят следующим образом:
Рисунок 1. Таблицы истинности. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Приведём пример таблицы истинности для двух функций от трёх аргументов $f_1(X_1, X_2, X_3) и f_2(X_1, X_2, X_3)$. Представление значений логических функций в виде таблицы отображает значения данных функций при определённом наборе входных аргументов.
Рисунок 2. Таблицы истинности. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Схемная реализация элементарных логических операций
Все даже очень сложные логические функции могут быть реализованы достаточно простым набором основных операций алгебры логики. Изначально этот постулат был выполнен в буквальном смысле, то есть разрабатывались микросхемы, которые соответствовали главным логическим операциям. Производители компьютерного оборудования путём комбинирования определённого набора компонентов формировали необходимую логическую схему. Но постепенно стало понятно такой метод построения схем не способен полностью удовлетворять потребности практики. Был начат процесс увеличения степени интеграции микросхем и появились более сложные стандартные модули, такие как триггер, регистр, счётчик, дешифратор, сумматор и так далее. Новые типы микросхем позволили формировать усложнённые устройства логики на базе электроники. Очередным скачком явилось появление больших интегральных схем (БИС), которые уже являлись сформированными функциональными модулями, а не набором компонентов для их реализации. Но на этом уровень интеграции микросхем не остановился, а двинулся дальше и появились БИС, в которых располагалось функционально полное оборудование, к примеру, калькуляторы, часы, специальные маленькие ЭВМ.
Если взять структурную организацию стандартного сегодняшнего компьютера, то там обнаружатся микросхемы с очень высокой степенью интеграции. А именно, это могут быть микропроцессоры, блоки памяти, микроконтроллеры внешнего оборудования и другие. Информационная обработка выполняется в ЭВМ методом поочерёдного исполнения простейших операций. Но этих операций существенно меньше, чем командный набор ЭВМ.
Условные обозначения главных элементов логики приведены на рисунке ниже:
Рисунок 3. Условные обозначения главных элементов логики. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Все эти элементарные логические элементы могут быть реализованы аппаратным способом. То есть, можно реализовать электронные модули на базе транзисторов, резисторов и тому подобное, каждый из которых может иметь несколько входов и один выход, уровень сигнала на котором будет соответствовать его таблице истинности.
В качестве примера рассмотрим триггер, логическая схема которого приведена на рисунке ниже:
Рисунок 4. Тригер. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Он является устройством, предназначенным для сохранения информации. Самая простая реализация триггера состоит из четырёх логических элементов И-НЕ, и, при этом, два являются вспомогательными. У триггера есть два входа, которые обозначены как R и S, и два выхода, обозначенные символом Q (прямым и инверсным, черта над Q обозначает отрицание). Работа триггера построена так, что прямой и инверсный выходы всегда являются противоположными по значению.
