Комбинированные задачи — это такие задачи, решение которых состоит в формулировке определенных комбинаций из ряда компонентов, выбранных согласно определенным условиям, или в подсчете числа таких комбинаций.
Общие сведения о геометрических задачах
Очень много задач в начертательной геометрии могут быть сведены к формированию различных элементов, таких как, точки, линии, поверхности, которые удовлетворяют некоторым позиционным или метрическим условиям. Любому условию должна соответствовать определенная совокупность компонентов (точек, линий), которая определяется как геометрическое место данных компонентов. К примеру, сфера может выступать в качестве геометрического места точек, которые удалены от выбранной точки (центра сферы) на определенную дистанцию.
Задача, в которой на рабочий компонент накладываются два или больше условий, именуется комбинированной задачей. Часто подобные задачи также называются «комплексными», подразумевая, что на определяемый компонент накладывается комплекс, то есть, два или более, условий.
Прежде чем, начинать решение комбинированных задач, следует освоить навыки решения стандартных геометрических задач, в их числе:
- Задача на определение точки, являющейся пересечением прямой линии и поверхности, которая называется первой позиционной задачей.
- Задача на определение линии, являющейся пересечением двух поверхностей, которая называется второй позиционной задачей.
- Задача на определение прямых и плоскостей, которые являются взаимно перпендикулярными.
- Задача, которая заключается в определении длины отрезка прямой общего положения.
- Задача, которая состоит в преобразовании фигуры общего положения в фигуру частного положения методом замены плоскостей проекций.
Комбинированные задачи
Геометрические задачи, в которых на определяемый компонент накладывается несколько (два и больше) условий, могут решаться по следующему алгоритму:
- Следует осуществить ввод вспомогательных геометрических фигур (множеств), каждое из которых должно удовлетворять одному из условий или ряду условий, которые наложены на искомый компонент.
- Искомый компонент должен определяться в виде результата, представляющего собой пересекающиеся вспомогательные фигуры (множества).
Такой алгоритм должен быть реализован в следующем порядке:
- Выполнение анализа, то есть, выявление условий, которые наложены на искомый компонент, и тех фигур (множеств), которые способны удовлетворять данным условиям.
- Выполнение исследования, которое должно определить количество возможных вариантов решения задачи.
- Формирование алгоритма, то есть, осуществление символической записи последовательности решения задачи.
- Выполнение построения, то есть, графическая реализация алгоритма в виде чертежа.
Построением является процесс записи, то есть, фиксации решения на чертеже. Прежде чем начинать построение, задачу следует представить в уме, используя трехмерное пространство. Предположим, к примеру, что требуется направить через заданную точку A прямую, которая будет параллельна двум заданным плоскостям. Необходимо представить заданные плоскости, в виде произвольно «висящих» в пространстве. Они должны пересекаться по некоторой линии m. Любая прямая m', которая будет параллельной линии m, является параллельной обеим плоскостям. Таким образом, для того чтобы решить эту задачу, достаточно отыскать линию m пересечения данных плоскостей и через точку A провести искомую прямую параллельно найденной линии.
То есть, мы выполнили мысленное решение задачи. Далее можно начинать графические построения. То есть, начертить линию m пересечения данных плоскостей, а через точку A провести прямую, которая будет параллельна найденной прямой m.
Рассмотрим геометрические места точек или прямых, удовлетворяющих заданным условиям. В частности, приведем перечень некоторых геометрических мест, которые встречаются при решении комбинированных задач:
- Геометрическим местом точек, которые удаленны от заданной точки O на расстояние R, является поверхность сферы с центром O и радиусом R.
- Геометрическим местом точек, которые удалены от заданной прямой j на расстояние R, является поверхность цилиндра вращения с осью j и радиусом R.
- Геометрическим местом точек, которые удалены от данной плоскости на заданное расстояние, являются две плоскости, параллельные данной.
- Геометрическим местом прямых, которые проходят через точку S на прямой j и наклонены к j под постоянным углом, являются прямолинейные образующие конуса вращения с вершиной S и осью j.
- Геометрическим местом прямых, которые проходят через данную точку S и имеют равный наклон к данной плоскости X, являются образующие конуса вращения с вершиной S и осью, перпендикулярной к плоскости X.
- Геометрическим местом точек, которые находятся на равном удалении от двух заданных точек A и B, является плоскость, перпендикулярная отрезку AB и проходящая через его середину, то есть, срединная плоскость.
- Геометрическим местом точек, которые находятся на равном удалении от трех заданных точек A, B и C, является перпендикуляр к плоскости этих точек, проходящий через центр окружности ABC.
- Геометрическим местом точек, которые расположены на равном удалении от четырех точек A, B, C, D, не лежащих в одной плоскости, является точка, то есть, центр сферы, проходящей через данные точки A, B, C, D.
- Геометрическим местом точек, которые находятся на равном удалении от двух пересекающихся плоскостей X и А, является биссекторная плоскость двугранного угла ХПА.
Рассмотрим конкретный пример решения комбинированной задачи. Требуется опустить перпендикуляр t из точки M на прямую m. Требование «опустить перпендикуляр на прямую» предполагает, что перпендикуляр к прямой обязан с ней пересечься. В итоге получится следующий алгоритм:
- Построить плоскость X. Через точку M следует провести плоскость X, перпендикулярную к данной прямой m. В краткой форме запись этого действия имеет вид: M^ X(hAf) ±m.
- Строить плоскость А не нужно, поскольку плоскость А уже будет задана на чертеже точкой M и прямой m: А(т, M) является заданной.
- Далее следует построить искомую прямую: t =ХПА.
