Факториал
Формулы для факториалов — это формулы определения конкретных значений факториала.
Под факториалом числа понимается результат произведения всех натуральных неотрицательных чисел, начиная с единицы и до основания факториала.
Термин факториал числа – это математический оператор, но применяется в самых разных научных дисциплинах, таких как комбинаторика, функциональный анализ, теория чисел.
Рисунок 1. Факториал. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Формула вычисления
Для вычисления факториала конкретного числового выражения, надо найти произведение чисел, начиная от единицы, и заканчивая заданным числом. Исходя из этого, операцию нахождения факториала, возможно определить так:
$n! = 1 • 2 •… • n$, здесь $n$ – это целое не отрицательное числовое значение. Стандартным обозначением факториала является знак восклицания.
Главные факториальные особенности:
- $0! = 1$;
- $n! = n • (n – 1)!$;
- $n!^2 ≥ n^n ≥ n! ≥ n$.
Выражение под номером два определяется термином рекурсия, а сам факториал выступает как элементарная рекурсивная функция. Рекурсивная функция находит широкое распространение в теории алгоритмов и при создании программных приложений для компьютеров, так как большинство алгоритмических структур и программных процедур обладают рекурсивным наполнением.
Вычислить факториал многоразрядных чисел возможно путём применения формулы Стирлинга, дающей, правда, не точный результат, хотя погрешность достаточно мала. Эту формулу можно представить следующим образом:
$n! = (n/e)^n • √(2 • π • n) • (1 + 1/(12 • n) + 1/(288 • n^2) + …)$
$ln (n!) = (n + 1/2) • ln n – n + ln √(2 • π)$,
здесь
- $e$ – является основанием натурального логарифма, его числовое значение примерно равно 2,71828…;
- $π$ – постоянная (отношение длины окружности к диаметру), в числовом выражении равняется примерно 3,14.
Используется ещё и такое определение формулы Стирлинга:
$n! ≈ √(2 • π • n) • (n/e)^n$.
Есть, так же, разные обобщённые формулировки факториала. К примеру, удвоенный, m – кратный, растущий, уменьшающийся. Удвоенный факториал имеет обозначение !! и равняется произведению натуральных чисел в диапазоне от единицы до выбранного числового значения, но только тех, которые обладают такой же чётностью. Пример: $6!! = 2 • 4 • 6$.
M – кратный факториал является разновидностью двойного факториала для всех положительных чисел m:
для $n = mk$ – выполняется условие $n!...!! = ∏ (m • I – r)$, здесь $r$ – целочисленный набор от нуля до $m –1$, $I$ – входит в числовое подмножество от единицы до $k$.
