Факториал
Формулы для факториалов — это формулы определения конкретных значений факториала.
Под факториалом числа понимается результат произведения всех натуральных неотрицательных чисел, начиная с единицы и до основания факториала.
Термин факториал числа – это математический оператор, но применяется в самых разных научных дисциплинах, таких как комбинаторика, функциональный анализ, теория чисел.
Рисунок 1. Факториал. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Формула вычисления
Для вычисления факториала конкретного числового выражения, надо найти произведение чисел, начиная от единицы, и заканчивая заданным числом. Исходя из этого, операцию нахождения факториала, возможно определить так:
n!=1•2•…•n, здесь n – это целое не отрицательное числовое значение. Стандартным обозначением факториала является знак восклицания.
Главные факториальные особенности:
- 0!=1;
- n!=n•(n–1)!;
- n!2≥nn≥n!≥n.
Выражение под номером два определяется термином рекурсия, а сам факториал выступает как элементарная рекурсивная функция. Рекурсивная функция находит широкое распространение в теории алгоритмов и при создании программных приложений для компьютеров, так как большинство алгоритмических структур и программных процедур обладают рекурсивным наполнением.
Вычислить факториал многоразрядных чисел возможно путём применения формулы Стирлинга, дающей, правда, не точный результат, хотя погрешность достаточно мала. Эту формулу можно представить следующим образом:
n!=(n/e)n•√(2•π•n)•(1+1/(12•n)+1/(288•n2)+…)
ln(n!)=(n+1/2)•lnn–n+ln√(2•π),
здесь
- e – является основанием натурального логарифма, его числовое значение примерно равно 2,71828…;
- π – постоянная (отношение длины окружности к диаметру), в числовом выражении равняется примерно 3,14.
Используется ещё и такое определение формулы Стирлинга:
n!≈√(2•π•n)•(n/e)n.
Есть, так же, разные обобщённые формулировки факториала. К примеру, удвоенный, m – кратный, растущий, уменьшающийся. Удвоенный факториал имеет обозначение !! и равняется произведению натуральных чисел в диапазоне от единицы до выбранного числового значения, но только тех, которые обладают такой же чётностью. Пример: 6!!=2•4•6.
M – кратный факториал является разновидностью двойного факториала для всех положительных чисел m:
для n=mk – выполняется условие n!...!!=∏(m•I–r), здесь r – целочисленный набор от нуля до m–1, I – входит в числовое подмножество от единицы до k.