Волновая оптика с формулами

Согласно современным представлениям свет – это сложное явление, которое при одних обстоятельствах ведет себя как электромагнитные волны, при других – его следует рассматривать как поток особенных частиц (фотонов).

Уравнение плоской линеаризованной световой волны

Если плоская световая волна распространяется по оси $X$, то ее можно описать при помощи следующих уравнений:

$E=E_m\cos{\omega{}\left(t-kx+\varphi{}\right)\left(1\right),}$

$H=H_m\cos{\omega{}\left(t-kx+\varphi{}\right)\left(2\right),}$

где φ – начальная фаза, которая определена началом отсчета по времени и координате. В световой волне совершают колебания два вектора:

• напряженности электрического поля,
• напряженности магнитного поля.

Экспериментально доказано, что физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и многие другие действия свет оказывает благодаря колебаниям вектора $\vec{E}$. Поэтому, если в волновой оптике говорят о световом векторе, то, скорее всего, имеют в виду $\vec{E}$.

Введем обозначение модуля амплитуды светового вектора - $A$, тогда закон изменения проекции светового вектора можно представить как:

$A\cos{\omega{}\left(t-kx+\varphi{}\right)\left(3\right),}$

где $A$ - амплитуда волны света.

В вакууме световая волна распространяется со скоростью $c=3∙10^8 м/с$. Фазовая скорость световых волн в среде может быть определена:

$v=\frac{c}{\sqrt{\epsilon{}\mu{}}}=\frac{c}{n}\left(4\right),$ где:

• $ε$ – диэлектрическая проницаемость вещества;
• $μ$ – магнитная проницаемость вещества;
• $n$ – показатель преломления вещества.

Явление интерференции волн света

Рассмотрим пару световых волн, имеющих одну частоту. Пусть они накладываются друг на друга в некоторой точке пространства и порождают в некоей точке пространства колебания одинакового направления:

$A_1\cos{\left(\omega{}t+{\varphi{}}_1\right);A_2\cos{\left(\omega{}t+{\varphi{}}_2\right)}\left(5\right).}$

Амплитуда суммарного колебания в рассматриваемой точке пространства будет:

$A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos{\left({\varphi{}}_2-{\varphi{}}_1\right)\left(6\right).}$

Так, для некогерентных волн имеем: $I=I_1+I_2(7).$

Для когерентных волн: $I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos{({\varphi{}}_2-{\varphi{}}_2)(8)}$, где $I$ - интенсивность волны.

Явление интерференции широко применяется на практике, например, для нахождения показателей преломления газов, очень точного определения длин и величин углов, выяснения насколько качественно обработана поверхность.

Дифракция световых волн

Частным случаем дифракции является огибание препятствий волнами света и попадание света в область геометрической тени.

Наиболее простыми с точки зрения математического описания являются следующие виды дифракции от:

• круглого отверстия;
• круглого диска;
• прямоугольного края полуплоскости;
• щели;
• дифракционной решетки.

Рассмотрим пример дифракции. На пути сферической волны света расположим непрозрачную преграду с круглым отверстием, радиус которого равен $r$. Экран разместим так, что луч от источника попадет в центр отверстия (рис.1).

Рисунок 1. Пример дифракции. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Если радиус отверстия много меньше расстояний $n$ и $m$ (рис.1), тогда мы можем положить, что $m$ - расстояние от непрозрачного экрана с отверстием до точки $C$ на экране.

При выполнении равенства:

$r=\sqrt{\frac{mn}{m+n}k\lambda{}}\left(9\right),$

где $k$ – целое число, открываются первые $k$ зон Френеля. Число открытых зон Френеля можно определить так:

$k=\frac{r^2}{\lambda{}}\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right)\left(10\right).$

Амплитуды результирующей волны в точке C найдем как:

$A=\frac{A_1}{2}\pm{}\frac{A_k}{2}\left(11\right).$

Если число $k$ невелико, то можно считать: $A_k\approx{}A_1$, следовательно, в точке С для нечетных $k$ амплитуда почти равна $A_1$, при четных $k$ $A=0$.

Если выставленную преграду убрать, то амплитуда волны в точке C станет равной $\frac{A_1}{2}$. Получается, что маленькое круглое отверстие в непрозрачном экране приводит к увеличению амплитуды световой волны в два раза и соответственно, интенсивность увеличивается в 4 раза.

Поляризация света

Световая волна, как и всякая электромагнитная волна, является поперечной. Однако в естественном луче мы не обнаружим асимметрии по отношению к направлению ее распространения. Этот факт свидетельствует о том, что в обычном луче колебания происходят в разных направлениях, но при этом, перпендикулярных вектору скорости волны. В естественном свете колебания разных направлений с высокой скоростью меняют друг друга.

При реализации колебаний светового вектора в одной плоскости, говорят о плоской поляризации света.

Допустим, что на поляризатор попадает плоскополяризованный свет, имеющий амплитуду $A_m$ и интенсивность$I_m.$ Амплитуда колебаний световой волны, вышедшей из прибора, составит:

$A=A_m\cos{\alpha{}\ \left(12\right),}$

где $\alpha{}$ – угол между плоскостью колебаний луча попадающего в поляризатор и плоскостью поляризатора. При этом интенсивность луча, покинувшего поляризатор будет:

$I=I_m{cos}^2\alpha{}\left(13\right).$

Выражение (13) называется законом Малюса.

Если луч света падает на границу раздела двух диэлектрических сред и угол его падения отличен от нуля, то отраженный и преломленный лучи становятся частично поляризованными. Степень поляризации определена углом падения.

При выполнении условия:

${\alpha{}}_b=n_{12}\left(14\right),$

где $n_{12}$ – показатель преломления второй среды относительно первой, отраженный луч становится полностью поляризованным. При этом колебания в этом отраженном луче происходят перпендикулярно плоскости падения. Выражение (14) - закон Брюстера. $α_b$ – угол Брюстера или угол полной поляризации.