Векторы напряженности электрического (→E) и магнитного (→H) полей в электромагнитной волне всегда взаимно перпендикулярны, они находятся в плоскости перпендикулярной вектору скорости волны (→v). Из вышесказанного следует, что электромагнитные волны являются поперечными. Ориентация векторов (взаимная) →E, →H, →v подчиняется правилу: Если смотреть из конца вектора скорости, то вращение от вектора напряжённости электрического поля по кратчайшему направлению к вектору напряженности магнитного поля идет против часовой стрелки (рис.1). Или, вектор →v имеет направление, как и векторное произведение →E на →H:
Рисунок 1.
Электромагнитное поле в однородной, изотропной, непроводящей среде, не имеющей сегнетоэлектрических и ферромагнитных веществ, можно описать с помощью векторных уравнений Максвелла в дифференциальной форме:
Или в скалярном виде:
Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, покажем, что она является поперечной, и →E⊥ →H. Допустим, что волна распространяется вдоль положительного направления осиX. В таком случае имеем:
Из первых уравнений систем (6) и (7) и уравнений (8) и (9) следует, что:
Из системы уравнений (12) можно сделать вывод о том, что Ex и Hx не зависят ни от координат, ни от времени. Подобное стационарное и однородное поле не имеет отношения к электромагнитным волнам, поле которых нестационарное и неоднородное. Так, для поля плоской волны, которая распространяется вдоль осиX, имеем:
Колебания векторов →E и →H в точках плоскости x=const отстают по времени от колебаний этих же векторов в точках плоскости x=0 на величину, равную xv, где v - скорость волны. Значит, →E и →H зависят от комбинации времени (t) и отношения xv вида (t−xv):
Введем обозначение вида: ξ=t−xv, тогда получим выражения:
Подставим производные из (16) и (17) во второе и третье равнения систем выражений (6) и (7), получим:
Если учесть, что:
то уравнения (18) можно переписать в виде:
Интегрируя выражения (20) по ξ, положив постоянные интегрирования равными нулю, так как векторы →E и →H и их проекции на оси координат для переменного поля плоской волны не могут иметь постоянных составляющих, которые не зависят от ξ=t−xv, в результате имеем:
Если скалярное произведение векторов будет равно нулю, при этом ни один из этих векторов не равен нулю, значит, эти векторы перпендикулярны. Найдем →E⋅→H, используя выражение (21):
Из (22) очевидно, что →E⊥→H.
Взаимно перпендикулярные векторы →Eи→H колеблются в одной фазе, они одновременно становятся равными нулю и достигают максимума. Для любой бегущей волны, имеющей любую форму волновой поверхности, выполняется равенство:
Задание: Покажите, что векторы →v, →E, →H образуют правую тройку взаимно перпендикулярных векторов.
Решение:
Рассмотрим плоскую электромагнитную волну. Для нее если →E=Ey→j, то →H=Hz→k, причем если Ey>0, то и
Hz=√εε0μμ0Ey>0.Это доказывает, что →v, →E, →H - правая тройка взаимно перпендикулярных векторов.
Задание: Покажите на примере плоской электромагнитной волны, что векторы →E, →H совершают колебания в одной фазе.
Решение:
Из дифференциальных уравнений Максвелла следует, что для плоской электромагнитной волны, которая распространяется вдоль положительного направления осиX, выполняются равенства:
Ex=Hx=0 (2.1),следовательно, можно записать, что:
Hy=−√εε0μμ0 Ez, Hz=−√εε0μμ0 Ey(2.5).Зная, что:
H=√Hy2+Hz2и E=√Ey2+Ez2(2.6).Получим:
√μμ0H=√εε0E.Что означает, что векторы напряженности электрического и магнитного полей совершают колебания в одной фазе.