Теория относительности с формулами

Теорию относительности принято делить на:

• специальную (частную)
• общую.

Согласно общей теории Эйнштейна для описания физической реальности требуется искривленное пространство, Для понимания физических законов следует установить конкретный вид уравнений, которые необходимы для описания этого пространства. Общая теория относительности (ОТО) является способом описания тяготения и явления с ним связанных.

Остановимся подробно на специальной теории относительности.

Механический принцип относительности

Допустим, что системы отсчета перемещаются друг относительно друга равномерно и прямолинейно. В этих системах выполняются законы Ньютона. Такие системы называют инерциальными.

Для всех инерциальных систем отсчета классические динамические законы обладают одинаковой формой. В этом состоит сущность механического принципа относительности Галилея.

Постулаты специальной теории относительности

Механика Ньютона хорошо описывает движение макротел, перемещающихся со скоростями много меньшими скорости света. Но законы классической механики противоречат, например, экспериментам, связанным с движением с большими скоростями заряженных частиц. Эти законы не могут объяснить принципы распространения света.

Для пояснения этих и других экспериментальных данных требовалось создать механику, которая включала бы механику Ньютона, как частный случай и давала объяснение всем выявленным противоречиям. Это смог сделать А. Эйнштейн, который сделал вывод о том, что особенной среды, которую можно принять за абсолютную систему не существует.

Специальная теория относительности (СТО) – это физическая теория исследующая пространство и временя. В этой теории:

• полагают , что время является однородным;
• пространство рассматривается как однородное и изотропное.

В основу СТО положены постулаты Эйнштейна, которые были сформулированы им в 1905 году:

1. Принцип относительности говорит о том, что никакими способами, находясь внутри инерциальной системы (ИС) невозможно обнаружить, находится данная система в покое или перемещается со скоростью постоянно по модулю и направлению. Все законы являются инвариантными относительно переходов от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой.
2. Принцип неизменности скорости света. Данный принцип говорит о том, что скорость света в вакууме не изменяется для всех ИСО и не зависит от скорости с которой движется источник света или его приемник.

Так, первый постулат служит обобщением механического принципа относительности Галилея. Он говорит об инвариантности законов физики относительно выбора ИСО, и одинаково форме уравнений, связанных с этими законами для всех ИСО. В соответствии с этим постулатом все инерциальные системы равноправны.

Из второго постулата следует, что неизменность скорости света является фундаментальным свойством природы, определяемым в экспериментах.

Теория Эйнштейна требует отказаться от понятий «абсолютного времени» и «абсолютного пространства».

Преобразования Лоренца

А. Эйнштейн доказал, что классические преобразования Галилея не совместимы со специальной теорией относительности и подлежат замене.

Преобразования Галилея, отражающие переход от одной ИСО к другой описывают системы выражений;

$\left\{ {\begin{array}{l} x^{'}=x+\vec{v}t; \\ y^{'}=y; \\ z^{'}=z \\ t^{'}=t \\ \end{array}}\left( 1 \right), \right.$

где две имеются две системы отсчета. Одна ИСО движется относительно другой со скоростью $v$ по оси $X$.

Лоренц предложил свои преобразования еще до возникновения специальной теории относительности. Эти преобразования были выдвинуты для уравнений Максвелла.

Пусть ИСО $K’$ движется по оси $X$ относительно ИСО $K$ со скоростью $v$, тогда правомерны следующие преобразования:

$K\to K'$

$\left\{ {\begin{array}{l}x^{'}=\frac{x-vt}{\sqrt {1-\beta^{2}} }; \\ y^{'}=y; \\ z^{'}=z \\ t^{'}=\frac{t-vx/c^{2}}{\sqrt {1-\beta^{2}} } \\ \end{array}}\left( 2 \right), \right.$

$K'\to K$

$\left\{ {\begin{array}{l} x=\frac{x^{'}+vt'}{\sqrt {1-\beta^{2}} }; \\ y=y'; \\ z=z' \\ t=\frac{t'+vx'/c^{2}}{\sqrt {1-\beta^{2}} } \\ \end{array}}\left( 3 \right), \right.$

где $\beta =\frac{v}{c};$ $c$ - скорость света.

Из выражений (1) и (2) следует, что если ИСО движутся со скоростями много меньшими, чем скорость света, тогда преобразования Лоренца переходят в классические преобразования Галилея, которые рассматривают как предельный случай Лоренцевых преобразований.

Если считать, что скорость движения ИСО больше скорости света, то у формул (1) и (2) исчезает физический смысл. Это соответствует тому, что двигаться со скоростью большей, скорости света в вакууме нельзя.

Преобразования Лоренца свидетельствуют о том, что расстояние и промежуток времени между двумя событиями являются переменными при переходе от одной ИСО к другой.

Пространственные и временные преобразования зависимы, так как в закон трансформации координат входит время, а закон преобразования времени имеет пространственные координаты. Так установлена связь между пространством и временем.

СТО имеет дело с пространством, в котором реализуется неразрывная связь между временем и координатами.

Следствия преобразований Лоренца

Допустим, что в ИСО $K$ в точках с координатами $y_1$ и $y_2$ в моменты времени $t_1$ и $t_2$ состоялись два события. В ИСО $K’$ им соответствуют координаты $y_1’$ и $y_2’$ и моменты времени $t_1’$ и $t_2’$. Пусть события в системе $K$ реализуются в одной точке ($y_1$=$y_2$) в один момент времени $(t_1$=$t_2)$, то в соответствии с преобразованиями Лоренца:

$y_1’=y_2’$; $t_1’=t_2’$,

события являются одновременными и совпадают в пространстве для каждой ИСО.

При пространственном разобщении событий в системе $K$ ($y_1\ne y_2$), но сохранении единовременности ($t_1=t_2$), в системе $K’$ мы имеем:

$ y_{1}^{'}=\frac{y_{1}-vt}{\sqrt {1-{(\frac{v}{c})}^{2}} }$;

$y_{2}^{'}=\frac{y_{2}-vt}{\sqrt {1-{(\frac{v}{c})}^{2}} }$;

$t_{1}^{'}=\frac{1-\frac{vy_{1}}{c^{2}}}{\sqrt {1-{(\frac{v}{c})}^{2}} };$

$t_{2}^{'}=\frac{t-vy_{2}/c^{2}}{\sqrt {1-{(\frac{v}{c})}^{2}} }$;

$x_{1}^{'}\ne x_{2}^{'};\, t^{'}_{1}\ne t_{2}^{'}$

Мы видим, что при пространственном разобщении событий в одной ИСО эти события разобщены в другой ИСО и по времени и в пространстве.

Длительность событий

Допустим, что в точке $z$ в ИСО $S$ произошло событие с длительностью:

$\Theta =t_{2}-t_{1}\left( 4 \right)$

где $t_1$- время начала события; $t_2$ – время окончания события.

Длительность этого события в ИСО $S’$:

$\Theta '={t'}_{2}-{t'}_{1}\left( 5 \right)$

при этом:

$t^{'}_{1}=\frac{t_{1}-\frac{vz}{c^{2}}}{\sqrt {1-\beta^{2}} }$.

${t'}_{2}=\frac{t_{2}-\frac{vz}{c^{2}}}{\sqrt {1-\beta^{2}} }$

В результате длительность события в системе $S’$ составляет:

$\Theta^{'}=\frac{\Theta }{\sqrt {1-{(\frac{v}{c})}^{2}} }$.

Мы видим, что продолжительность события в некоторой точке является минимальной в ИСО, относительно которой данная точка не двигается.

Или иногда говорят, что часы, перемещающиеся по отношению к ИСО, будут идти медленнее, чем идут неподвижные часы.

Длина тел в ИСО

Допустим, что у нас имеется стержень, который лежит на оси $Z’$ неподвижно в системе $L’$. Длина стержня в этой системе составляет:

$l_{0}^{'}=z_{2}^{'}-z_{1}^{'}\left( 5 \right)$.

где $z_{2}^{'}$ и $z_{1}^{'}$ постоянные во времени $t’$ координаты начала и конца. Тогда длина нашего стержня в движущейся ИСО $L$ равна:

$l_{0}^{'}=\frac{l}{\sqrt {1-\beta^{2}} }\left( 6 \right)$.

Длина стержня будет меньше в движущейся системе отсчета.

При этом поперечные размеры тела не являются зависимыми от скорости перемещения тела и будут равны во всех ИСО.

Так, линейные размеры тела максимальны в ИСО, в которой тело неподвижно.