Теория колебаний

Всем природным явлениям свойственны колебания: ветры образовывают колебания и волны на поверхности воды; пульсирует сияние звезд; с высоким уровнем периодичности вращаются вокруг своей оси планеты Солнечной системы; внутри любого живого организма постоянно происходят ритмично повторяющиеся, разнообразные процессы.

В физике на данный момент выделяются электромагнитные и механические колебания. Посредством распространяющихся колебательных волн в виде плотности и давления воздуха, ощущаемых человеком как звук, а также сверхскоростных колебаний электромагнитных полей, воспринимаемых как свет, возможно получать огромный поток информации о внешнем мире.

Наглядными примерами колебательного процесса в механике являются колебания струн, маятников, мостов и т.д.

Простейшим видом указанных вибраций выступают гармонические колебания, при которых превращение колеблющихся показателей со временем осуществляется по гипотезе синуса (или косинуса):

$X = A sin( \omega t + \phi_0)$

История становления теории колебаний

Гипотеза механических колебаний является не только разделом механики, а и частью общей теории колебательных процессов, которые непосредственно связаны с физикой, прикладной математикой и с наиболее сложным геометрическим аппаратом.

Работы Ньютона стали основой для комплексного решения многих серьезных задач гипотезы колебаний. Среди заданий первого этапа на вибрации упругих физических тел лидирующее место занимает проблема поперечных движений натянутой струны. Научно-экспериментальные исследования были успешно проведены такими учеными, как И. Бекманом и М. Мерсенном.

Данная задача была решена в развернувшемся позже остром конфликте между Д. Бернулли, д'Аламбером и Лагранжем. В результате полемики исследователей сформировались понятия частоты и периода колебательных процессов, их формы, появился термин “малые колебания”, разработан принцип суперпозиции, сделаны первые попытки разложения решения в тригонометрической системе. Для становления механики важным итогом стало использование принципы д’Аламбера, посредством которых удалось записать дифференциальные формулы движения материальных тел.

Таким образом, на протяжении XVIII столетия в гипотезе колебаний были сформулированы ключевые физические модели и определены методы, значимые для математического изучения проблем. Дальнейшее развитие рассмотренной теории напрямую связано с развитием принципа упругости. В течение XIX века были озвучены и внедрены на практике аналитические способы расчетов колебательных движений различных физических веществ геометрически корректной формы.

Систематизация колебательных процессов

На сегодняшний день классификация теории колебания состоит из таких разделов:

1. Свободные колебания - происходят при отсутствии переменного внутреннего влияния, без получения внешней энергии извне. Такие процессы могут происходить только в автономных системах.
2. Вынужденные колебания – встречаются в неавтономных концепциях, и их основами выступают нестабильные внешние воздействия.
3. Параметрические колебания – происходят, когда точка подвеса физического маятника совершает движение в строго вертикальном направлении, в результате чего получаются параметрические вибрации вокруг шарнира. На горизонтальный стержень в долевом направлении влияет периодическая величина, вызывая систематически повторяющиеся колебания самой опоры
4. Автоколебания (самообразующиеся движения). В таких колебательных процессах источники имеют изменчивую природу, и при этом сами элементы системы включены в это действие.

Кинематику периодических колебательных процессов возможно записать в виде процесса, который характеризуется единственной скалярной переменной $u(t)$, выступающей, например, перемещением. Тогда выполняется условие: $u (t + l) = u(t)$

Другой, не менее важной особенностью периодического колебательного явления считается частота колебаний: $f = \frac {1}{T} (C^{-1})$

Процесс распределения колебаний в окружающей среде

Колебания мельчайших частиц передаются посредством сил упругости соседним компонентами и т.д. Через определенное время данное явление охватывает абсолютно всю среду.

Распространение вибраций называется в физике волной, ключевое свойство которой заключается в том, что именно здесь происходит плавный перенос энергии без движения самого вещества.

Волны в основном различаются по тому, как начальные возмущения в среде ориентированы согласно направлению их итогового распределения. Если колебательные движения частиц осуществляются в том же направлении, что и распространение энергетических компонентов, волны становятся продольными.

Если же колебания элементов перпендикулярны стороне распространения внутренней энергии, то такие волновые частицы называются поперечными. Продольные волны формируются в итоге деформаций растяжения или сжатия, а поперечные - возникают при искажении сдвига. В твердых физических телах упругие силы появляется при изменениях величин сжатия, растяжения и сдвига, поэтому в таких случаях могут быть как поперечные, так и продольные волны. В газах и жидкостях упругие силы образовываются только при сжатии и не меняются при сдвиге, поэтому в указанных элементах механические волны являются только продольными.

Уравнение волны – это формула, которая позволяет установить смещение любой материальной точки в любой период времени.

Ключевыми характеристиками волн выступают:

• длина - расстояние между двумя соседними точками волны, расположенными в одинаковой фазе, например, между двумя минимумами и максимумами силового возмущения;
• период – время, за которое происходит полный цикл колебательного движения.

Длина волны непосредственно связана с периодом и записывается в виде такого соотношения:

$\lambda = vT = \frac {V}{\nu}$ или $\omega = 2 \pi \nu$