Научно-технический прогресс в строительстве и вызванная им необходимость ознакомления с новыми эффективными методами расчета приводит к увеличению объема учебного материала, необходимого для подготовки высококвалифицированных молодых специалистов в области расчетов и проектирования. Одним из путей повышения качества подготовки выпускников ВУЗов является всесторонняя компьютеризация учебного процесса и индивидуализация его на этой основе.
Расчет статически определимых систем. Кинематический анализ плоских схем
При нахождении напряженно-деформированного состояния (НДС) сооружения его заменяют упрощенным представлением - расчетной схемой, свободной от второстепенных не важных факторов, пространственной или плоской. Если оси всех элементов сооружения и нагрузки расположены в одной плоскости - эта плоскость считается расчетной схемой. Плоские расчетные схемы являются наиболее простыми и позволяют в большинстве случаев получить удовлетворительную для практики точность расчета.
Сооружения (в дальнейшем - расчетные схемы) в состоянии воспринимать нагрузки только в случае, когда они сохраняют созданную при их сооружении структуру, то есть геометрическую форму и положение. Системы, которые не в состоянии уравновесить внешние силы и при их действии приходят в движение, изменяют свою форму. Такие системы в строительстве не используются для сооружений.
Сооружение должно быть неподвижным относительно основания, структурно или геометрически неизменным, а изменения его формы должны идти только за счет деформаций элементов. В геометрически неизменных сооружениях малым деформациям элементов соответствуют малые перемещения точек сооружения. Таким образом, кинематический анализ сооружения (расчетной схемы) должен предшествовать расчету его напряженно-деформированного состояния.
Изменчивость внутренней структуры и подвижности сооружения характеризуется степенью свободы - числом независимых геометрических параметров, определяющих положение всех элементов сооружения.
Геометрическая неизменность сооружения
Геометрическая неизменность сооружения определяется в такой последовательности.
В сооружении выделяют диски - неизменный элемент сооружения, который имеет три степени свободы - два поступательные по осям $ОХ, ОУ$ и угол поворота. Диском может быть стержень или массивное тело. Для обеспечения неизменности структуры и недвижимости сооружения диски соединяются шарнирами и стержнями, которые ограничивают степени свободы. К земле диски прикрепляются опорными стержнями.
Шарниры бывают простыми и кратными. Простой шарнир соединяет два диска. Если шарнир соединяет более двух дисков - это кратный шарнир, он эквивалентен $n-1$ простом шарнира, где $n$ - число дисков, которые соединяет шарнир. Простой шарнир ограничивает два линейных смещение (он равноценен установке двух связей), оставляя взаимный угол поворота дисков.
Кроме шарнирных соединений диски связываются:
- Простая припайка (она устраняет три степени свободы, исключая 2 линейных и угловое перемещение).
- Муфтой (устраняет два степени свободы, оставляя одно линейное перемещение вдоль оси муфты).
- Кинематической связью (устраняет одну степень свободы - линейное перемещение вдоль оси связи).
Вышеупомянутые соединения можно взаимно заменять, их еще называют связями, а силы что у них возникают - реакциями. Так шарнирная связь, устраняет 2 линейных поступательных перемещений, которые можно взаимно заменить двумя кинематическими связями или наоборот. Каждый опорный стержень эквивалентен одной связке, поскольку не допускает перемещения диска в направлении стержня.
Таким образом, степень свободы $W$ сооружения - количественная оценка кинематического анализа сооружения, состоящий из Д-дисков, соединенных Ш-простыми шарнирами и имеющих $С_о$ опорных стержней, можно определить по формуле П. Л. Чебышева:
$W=3Д - 2Ш - С_о$
Количественную характеристику изменчивости системы - степень геометрической изменяемости $Г$ можно определить с модифицированной формулы П. Л. Чебышева:
$Г = ЗД + 2В – ЗП - 2Ш – С_3$, где:
- Д - количество простых дисков, включая опорный диск "земля", если система прикреплена к ней;
- В - количество материальных точек, то есть узлов, в которых соединяются только кинематические связи;
- П - количество простых припаек;
- Ш - количество простых шарниров;
- С - количество кинематических вязов, (стержней);
- 3 - число степеней свободы всей плоской расчетной схемы.
Для ферм (стержневых систем, соединенных идеальными шарнирами) степень свободы $W$:
$W = 2W – С - С_о$, где:
- В - число узлов фермы;
- С - число внутренних стержней фермы;
- С_о - число опорных стержней.
Условие геометрической неизменности:
$W ≥ 0$
Выполнение условия необходимо, но обеспечение геометрической неизменности сооружения зависит не только от числа связей, наложенных на диски, но и от их расположения. Если условие выполняется, проверяют еще геометрическую структуру сооружения (проводят качественную оценку кинематического анализа). Для этого выделяют диски и исследуют их соединения между собой, учитывая основные принципы образования структурно неизмененных систем.
Два диска можно соединить жестко шарниром $С$ и стержнем $А$В, ось которого проходит через центр шарнира.
Три диска можно соединить с помощью трех шарниров, не лежащие на одной прямой.
Основные уравнения теории упругости
Напряженно-деформированное состояние (НДС) произвольной системы можно найти с помощью двух эквивалентных подходов:
- локального;
- интегрального.
Локальный классический подход базируется на записи полной системы уравнений строительной механики (уравнений статических, геометрических, физических), которые записывают для бесконечно малого элемента. Это приводит к расчетным уравнениям в частных производных. Такая полная система уравнений включает 15 неизвестных: 6 - напряжений (тензор напряжений $ T \sigma$), 6 - деформаций ($T \xi$), 6 - перемещений (3 - линейные, 3 - угловые).
Интегральный метод базируется на вариационном исчислении, которое лежит в основе метода конечных элементов (МКE). Запись полной системы уравнений строительной механики с использованием согласований о суммировании Эйнштейна (производные по пространственным координатам обозначаются запятой):
$\sigma_iJ + b_i = o$ (уравнение равновесия)
$\xi_y = \frac {1}{2} - (u_ig+u_gi) $ (геометрические уравнения совместности деформаций тензора малых деформаций Коши).
В рамках линейной теории упругости связь между $\sigma \xi$ подлежит общему закону Гука. В области малых деформаций он достаточно точно описывает состояние многих реальных материалов.
