Строительная механика представляет комплексную систему наук об устойчивости, жесткости, прочности строительных конструкций. Основную задачу строительной механики представляет разработка эффективных методов расчета с целью экономичного проектирования сооружений и зданий.
Предмет и задачи строительной механики и понятие нелинейности
При решении задач строительной механики применяются разные численные методы. Наиболее распространенным стал метод конечных элементов. В решении большинства задач статики, устойчивости сооружений и динамики первоочередно определяется полная потенциальная энергия $U$:
$U=W–V$
Где $W$ представляет работу внешних сил, а $V$ – работу внутренних. Все эти силы обычно записываются в виде функций, зависимых от таких процессов, как: перемещение, деформация, напряжение элементов для расчетной модели сооружений.
В строительной механике различают такие типы задач:
- одномерные (позволяют установить зависимость между одной функцией и пространственной координатой);
- плоские (допускают решение в двух измерениях);
- пространственные (рассматривают решение в трех измерениях).
Строительная механика бывает линейной и нелинейной. Существует два типа линейности: физическая и геометрическая.
Геометрическая нелинейность уравнений строительной механики свойственна большим перемещениям и деформациям элементов, что довольно редко наблюдается в строительных конструкциях (исключение составляют вантовые).
Возникновение физической нелинейности связано с отсутствием пропорциональности между деформациями и усилиями (когда используются неупругие материалы). Свойством физической нелинейности в определенной степени обладают все строительные конструкции и материалы.
Любое сооружение считается в строительной механике пространственным объектом. Воздействующая на такой объект также будет считаться пространственной, соответственно, и расчетная схема сооружения выбирается как пространственная. Наряду с тем, подобная схема соответствует более сложной задаче с составлением и решением большого количества уравнений. По этой причине для реального сооружения в строительной механике выбирается плоская система.
Решение нелинейных задач в строительной механике
При значительных перемещениях, которые соизмеримы с размерами конструкций, учитывается геометрическая нелинейность (при продольном и продольно-поперечном изгибе стержней, измененных координатах точек конструкции по причине сравнительно больших перемещений).
Особое место в строительной механике занимает конструктивная нелинейность. Она связана с изменениями расчетной схемы конструкции при нагрузке (при этом учитываются односторонние связи):
- при контактном типе взаимодействия деформируемых тел (трещины, одностороннее основание);
- при расчете конструкций (вантовые, с затяжками и т. п.).
Расчет нелинейных систем представляет более сложную задачу, в отличие от линейных. Это объясняется тем, что в первом варианте нужно:
- обязательно учитывать деформированное состояние нужной области конструкции;
- отказываться от принципа независимости для действующих сил;
- задействовать специальные методы поиска и анализа решений.
Аналитическое решение задачи при таких условиях требует проведение расчетов с применением численных методов (МКЭ), при этом используются процедуры последовательных приближений.
Если в решении задачи учитывается физическая нелинейность, напряжений и деформаций в общем виде будет выражать следующая формула:
$\sigma=E(e) e$
где $E(e)$ – матрица физических свойств материала, элементы которой представляют функции компонент для вектора деформаций $e$.
Таким образом, если учитывать геометрическую и физическую нелинейность, при решении задачи получается система нелинейных алгебраических уравнений, требующих применения шаговых или других методов. Стоит учитывать, что не существует универсального метода среди широко используемых алгоритмов расчета для нелинейных систем. Эффективность того или иного из них будет, главным образом, зависеть от типа и параметров нелинейности.
Шаговые методы решения нелинейных задач
Шаговые методы при решении задач нелинейного типа позволяют получать их решение после каждого шага приращения нагрузки. В этом случае появляется возможность учитывать реальный процесс нагрузки во времени (ползучесть материала, изменения при внешней нагрузке и пр.).
Каждый шаг при нагружении допускает конкретную физическую интерпретацию. Поскольку приращение нагрузки оказывается достаточно незначительным, поведение конструкции на каждом шаге принимается за линейное. После осуществления шага нагружения начинает формироваться новая нелинейная составляющая для матрицы жесткости и далее выполняется следующее приращение нагрузки. Нелинейное поведение конструкции, таким образом, полностью представляет собой последовательность кусочно-линейных шагов.
Недостаток задействования шаговых методов проявляется в накоплении ошибок (неувязки решений) в момент перехода от одного шага нагружения к следующему. При условии сильной нелинейности требуется уменьшение величины приращения нагрузки (большое количество шагов). Это, в свою очередь, усложняет нелинейный расчет. Улучшению точности решения также способствует регулирование невязки узловых сил (через каждые последующие несколько шагов нагружения).
