Превращение энергии при механических колебаниях

Колебаниями называют процессы, которым свойственная повторяемость во времени. Колебания можно наблюдать в системах с разной физической природой.

Колебания и волны являются самыми распространенными видами движения. Нет уровня организации материи, на котором не возможны были бы колебания. Не существует области деятельности человека, в которой бы не проявлялись или не использовались колебания и волны. Например, колебания и волны напрямую или опосредовано используются в:

• музыке,
• аудио и видеотехнике,
• сложных механических конструкциях,
• ультразвуковых технологиях,
• методах изучения объектов космоса;
• дефектоскопии,
• диагностике и др.

Независимо от природы колебательной системы, процессы колебаний описываются одинаковыми по виду дифференциальными уравнениями изменения переменных, которые характеризуют состояния системы.

Самыми простыми являются свободные гармонические колебания. При гармонических колебаниях переменный параметр описывается с помощью тригонометрических законов:

• синуса;
• косинуса.

Исследование и описание гармонических колебаний интересно так как:

1. колебания, которые встречаются в технике и природе обычно близки к гармоническим;
2. для периодических процессов можно использовать теорему Фурье.

Механические гармонические колебания

Рассмотрим материальную точку, совершающую гармонические колебания вдоль оси $Y$, недалеко от положения равновесия, в которое поместим начало координат. В таком случае связь координаты $y$ и времени зададим уравнением:

$y=y_m cos (\omega_0 t+\varphi) (1),$

где $y_m$ - амплитуда колебаний; $\omega_0$ - циклическая частота колебаний; $\varphi$ - начальная фаза колебаний.

В таком случае эта частица совершает колебания со скоростью, равной:

$v=-y_m\omega_0 sin (\omega_0 t+\varphi) (2).$

Ускорение, рассматриваемой нами материальной точки равно при этом:

$a=-a_m \omega_0^2 cos (\omega_0 t+\varphi) (3).$

Сила, которая действует на частицу, массы $m$, совершающую колебания составляет:

$F=ma=-m\omega_0^2 y (4).$

Выражение (4) показывает, что сила прямо пропорциональна смещению частицы из положения равновесия, при этом имеет направление, в сторону положения равновесия (против направления смещения).

Кинетическая энергия колебаний

Кинетическая энергия механического движения равна:

$E_k=\frac {mv^2}{2}(5).$

Следовательно, принимая во внимание формулу (2) кинетическая энергия частицы, колеблющейся по прямой вдоль оси $Y$, будет:

$E_k=\frac {my_m^2\omega_0^2}{2} sin^2 (\omega_0 t+\varphi) (6)$

или

$E_k=\frac {my_m^2\omega_0^2}{4}(1- cos 2 (\omega_0 t+\varphi)) (7).$

Потенциальная энергия колебаний

Представление о потенциальной энергии обладает смыслом только в том случае, если на тело, действуют потенциальные силы. При одномерном перемещении между парой точек имеется единственный путь. Поэтому автоматически обеспечено условие потенциальности силы и любую силу можно принимать за потенциальную, если она зависима только от координат. Последнее важно, поскольку, к примеру, сила трения - это непотенциальная сила даже в одномерном случае, так как ее направление будет зависеть от направления скорости.

Будем считать, что в положении равновесия потенциальная энергия нашей точки равна нулю. Если материальная точка выполняет колебания при воздействии на нее упругой силы $F$, тогда потенциальная энергия этой частицы равна:

$E_p=-\int_0^x {Fdy}=\frac{m\omega_0^2 y^2}{2}=\frac{m\omega_0^2 y_m^2 cos^2 (\omega_0 t+\varphi)}{2} (8)$

или

$E_p=\frac {my_m^2\omega_0^2}{4}(1+ cos 2 (\omega_0 t+\varphi)) (9).$

Полная энергия колебаний точки

Для того чтобы получить полную энергию колебаний материальной точки, которую мы рассматриваем, сложим ее кинетическую энергию (выражение (6)) и потенциальную энергию (8), имеем:

$E=E_k+E_p=\frac {m y_m^2\omega_0^2}{2}(10).$

Выражение (10) показывает, что полная энергия материальной точки, выполняющей гармонические колебания постоянная величина, поскольку при этом виде колебаний выполняется закон сохранения механической энергии. Это возможно, так как упругая сила является консервативной.

Формулы (4) и (9) указывают на то, что кинетическая и потенциальная энергии изменяются с частотой $2\omega_0$. Это частота в два раза большая, чем частота самого гармонического колебания.

Учитывая, что средний квадрат синуса равен среднему квадрату косинуса и равен одной второй:

$\left\langle {sin (\alpha)^2} \right\rangle = \left\langle {cos (\alpha)^2} \right\rangle=\frac{1}{2}(11)$,

имея в виду формулы (6), (8), (10), можем записать, что:

$\left\langle {E_k} \right\rangle = \left\langle {E_p} \right\rangle = \frac{E}{2}(12).$

Так, закон сохранения энергии позволяет сделать нам два важных вывода:

1. Максимальные кинетическая и потенциальная энергии равны при рассматриваемом нами движении.
2. Средняя по времени кинетическая энергия равна средней по времени потенциальной энергии.

Поясним, первое положение. Максимальной потенциальной энергией точка обладает тогда, когда находится в положении наибольшего смещения от состояния равновесия. В этом случае ее скорость, а значит и кинетическая энергия равны нулю. Кинетическая энергия частицы будем наибольшей при прохождении ей точки равновесия ($y=0$). В положении равновесия потенциальная энергия нашей точки становится равна нулю. Обозначив наибольшую скорость как $v_m$, запишем:

$\frac{mv_m^2}{2}=\frac{m\omega_0^2y_m^2}{2}(13).$

Сделаем следующий вывод: при свободных гармонических колебаниях полная механическая энергия колебательной системы не изменяется, кинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот.