Энергии стационарных состояний атома водорода
Атом водорода -- это пример простейшей атомной системы. Он состоит из положительно заряженного ядра и электрона. Между частицами действует сила Кулона. Потенциальное поле записывают в виде: U(r)=−Zq2e4πε0r. Масса ядра существенно больше, чем масса электрона, поэтому протон считают неподвижным. Энергия данной системы двух частиц находится при решении радиальной части уравнения Шредингера:
При исследовании уравнения (1) получают, что величины энергии для водородоподобного атома в стационарных состояниях зависят только от главного квантового числа n:
Уровни энергии En вырождены. Уроню энергии c номером n, принадлежит число состояний:
Уровни энергии щелочных металлов
Энергетические уровни щелочных металлов и подобных им ионов можно определить с помощью формулы:
где △=l∗−l, l∗=−12±√(l+12)2−2mℏ2CZaq2e, l -- орбитальное квантовое число. Энергия, которой обладает электрон в атоме щелочного металла зависит не только от n, но и числа l . Получается, что в не кулоновском поле вырождения по l отсутствует, остается только вырождение по m. Энергия от m не зависит, так ка пространство изотропно.
Волновые функции стационарных состояний атома водорода
Радиальная волновая функция, которая является собственной волновой функцией уравнения (1) может быть представлена в виде:
где k=n−l−1, ρ=2√Ar, A=−2mEℏ2, Q(2l+1)k(ρ) -- полином Лаггера:
Коэффициент Nnl находят из условия нормировки для радиальных функций:
Вычисляя интеграл (6) и выразив искомый Nnl, получают:
где A=2mEℏ2=Z(aBn)2, aB=4πε0ℏ2mqe2 -- первый Боровский радиус.
Полные стационарные волновые функции водородоподобной системы записывают как:
где угловая волновая сферическая функция Yml(θ,φ)=√2l+1(l−m)!4π(l+m)!eimφPml(cosθ), здесь Pml(cosθ) -- присоединенный полином Лежандра (функция Yml(θ,φ) нормирована на единицу). Для частного случая (при m=0) присоединенные полиномы становятся обычными полиномами Лежандра Pl(cosθ). Так, например (функции ненормированные):
Выражение для радиальной составляющей функции (6) имеет вид:
где c=2ZraBn, n=1,2,3,…. l=0,1,2,…,n−1, m=−l,−l+1,…,l−1,l.
Примеры явных выражений для радиальных волновых функций:
Для 1s− состояния, что означает: l=0 n=1:
Для состояния 2s (l=0 n=2):
Свойства волновых функций
Собственные функции (ψ- функции) содержат три параметра (целые числа) - n,l,m (6). Волновые функции, удовлетворяющие естественным условиям, существуют, только если величины l не больше n−1. При заданном l, магнитное квантовое число (m) может принимать 2l+1 разных величин.
Энергия электрона зависит только от главного квантового числа. Каждому собственному значению En соответствует несколько собственных ψnlm --функций (исключение составляет случай n=1). При этом волновые функции будут отличаться квантовыми числами l и m. Из чего следует, что имея одно значение энергии, электрон может существовать в разных состояниях.
В квантовой теории не говорят о траектории электрона в атоме. Смысл придают только состоянию (описывает волновая функция) и вероятность места пребывания электрона. Часто вводят понятие электронного облака, плотность распределения его для любой точки пропорциональна плотности вероятности (dPdV=ψψ∗) пребывания электрона в исследуемой точке. Пространственное распределение в электронном облаке атома можно описывать либо |ψ(r)|2(вероятность пребывания в единице объема), либо r2|ψ(r)|2(вероятность пребывания в сферическом слое единичной толщины).
Существенной особенностью состояний электрона является то, что все состояния при l≠0 становятся равны нулю в начале координат. При увеличении величины орбитального момента большая электронная плотность «убегает» от ядра благодаря центробежным силам потенциального барьера. Для s -- состояний потенциального барьера нет и волновая функция не равна нулю в начале координат. Данный факт ведет тому, что структур s- состояний наиболее чувствительна к структуре потенциала около центра атома, так как имеется вероятность отличная от нуля найти электрон в области около центра силы.
Задание: Запишите волновую функцию 1s состояния электрона в атоме водорода.
Решение:
За основу решения задачи примем общее выражения для ψ -- функции в водородоподобном атоме:
ψn,l,m= Rnl(r)Yml(θ,φ)(1.1)С учетом состояния преобразуется к виду:
ψn,0,0=ψ1s(r)= R10(r)Y00(θ,φ)(1.2).Учитывая нормировку функции Yml Для выражения (1.2) имеем:
Y00(θ,φ)=1√4π, R10(r)=2(ZaB)32e−ZraB(1.3).Подставим выражение (1.3) в (1.2), получим:
ψ1s(r)=2(ZaB)32e−ZraB1√4π=√Z3πaB3e−ZraB(1.4),при Z=1 окончательно имеем:
ψ1s(r)=2(1aB)32e−raB1√4π=√1πaB3e−raB.Ответ: ψ1s(r)=√1πaB3e−raB.
Задание: Какое количество разных ψ -- функций будет соответствовать n=4 ,без учета спина?
Решение:
В качестве основы для ответа на вопрос используем положение о том, что уроню энергии c номером n, принадлежит число состояний:
l=n−1∑l=0m=l∑m=−l1=n2(2.1).Получаем, что при n=4 волновых функций будет 16.
Ответ: Если не учитывать спин, то 16.