Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Уровни энергии и волновые функции стационарных состояний

Энергии стационарных состояний атома водорода

Атом водорода -- это пример простейшей атомной системы. Он состоит из положительно заряженного ядра и электрона. Между частицами действует сила Кулона. Потенциальное поле записывают в виде: U(r)=Zq2e4πε0r. Масса ядра существенно больше, чем масса электрона, поэтому протон считают неподвижным. Энергия данной системы двух частиц находится при решении радиальной части уравнения Шредингера:

При исследовании уравнения (1) получают, что величины энергии для водородоподобного атома в стационарных состояниях зависят только от главного квантового числа n:

Уровни энергии En вырождены. Уроню энергии c номером n, принадлежит число состояний:

Уровни энергии щелочных металлов

Энергетические уровни щелочных металлов и подобных им ионов можно определить с помощью формулы:

где =ll, l=12±(l+12)22m2CZaq2e, l -- орбитальное квантовое число. Энергия, которой обладает электрон в атоме щелочного металла зависит не только от n, но и числа l . Получается, что в не кулоновском поле вырождения по l отсутствует, остается только вырождение по m. Энергия от m не зависит, так ка пространство изотропно.

Волновые функции стационарных состояний атома водорода

Радиальная волновая функция, которая является собственной волновой функцией уравнения (1) может быть представлена в виде:

где k=nl1, ρ=2Ar, A=2mE2, Q(2l+1)k(ρ) -- полином Лаггера:

Коэффициент Nnl находят из условия нормировки для радиальных функций:

Вычисляя интеграл (6) и выразив искомый Nnl, получают:

где A=2mE2=Z(aBn)2, aB=4πε02mqe2 -- первый Боровский радиус.

Полные стационарные волновые функции водородоподобной системы записывают как:

«Уровни энергии и волновые функции стационарных состояний» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

где угловая волновая сферическая функция Yml(θ,φ)=2l+1(lm)!4π(l+m)!eimφPml(cosθ), здесь Pml(cosθ) -- присоединенный полином Лежандра (функция Yml(θ,φ) нормирована на единицу). Для частного случая (при m=0) присоединенные полиномы становятся обычными полиномами Лежандра Pl(cosθ). Так, например (функции ненормированные):

Выражение для радиальной составляющей функции (6) имеет вид:

где c=2ZraBn, n=1,2,3,. l=0,1,2,,n1, m=l,l+1,,l1,l.

Примеры явных выражений для радиальных волновых функций:

Для 1s состояния, что означает: l=0 n=1:

Для состояния 2s (l=0 n=2):

Свойства волновых функций

Собственные функции (ψ- функции) содержат три параметра (целые числа) - n,l,m (6). Волновые функции, удовлетворяющие естественным условиям, существуют, только если величины l не больше n1. При заданном l, магнитное квантовое число (m) может принимать 2l+1 разных величин.

Энергия электрона зависит только от главного квантового числа. Каждому собственному значению En соответствует несколько собственных ψnlm --функций (исключение составляет случай n=1). При этом волновые функции будут отличаться квантовыми числами l и m. Из чего следует, что имея одно значение энергии, электрон может существовать в разных состояниях.

В квантовой теории не говорят о траектории электрона в атоме. Смысл придают только состоянию (описывает волновая функция) и вероятность места пребывания электрона. Часто вводят понятие электронного облака, плотность распределения его для любой точки пропорциональна плотности вероятности (dPdV=ψψ) пребывания электрона в исследуемой точке. Пространственное распределение в электронном облаке атома можно описывать либо |ψ(r)|2(вероятность пребывания в единице объема), либо r2|ψ(r)|2(вероятность пребывания в сферическом слое единичной толщины).

Существенной особенностью состояний электрона является то, что все состояния при l0 становятся равны нулю в начале координат. При увеличении величины орбитального момента большая электронная плотность «убегает» от ядра благодаря центробежным силам потенциального барьера. Для s -- состояний потенциального барьера нет и волновая функция не равна нулю в начале координат. Данный факт ведет тому, что структур s- состояний наиболее чувствительна к структуре потенциала около центра атома, так как имеется вероятность отличная от нуля найти электрон в области около центра силы.

Пример 1

Задание: Запишите волновую функцию 1s состояния электрона в атоме водорода.

Решение:

За основу решения задачи примем общее выражения для ψ -- функции в водородоподобном атоме:

ψn,l,m= Rnl(r)Yml(θ,φ)(1.1)

С учетом состояния преобразуется к виду:

ψn,0,0=ψ1s(r)= R10(r)Y00(θ,φ)(1.2).

Учитывая нормировку функции Yml Для выражения (1.2) имеем:

Y00(θ,φ)=14π,  R10(r)=2(ZaB)32eZraB(1.3).

Подставим выражение (1.3) в (1.2), получим:

ψ1s(r)=2(ZaB)32eZraB14π=Z3πaB3eZraB(1.4),

при Z=1 окончательно имеем:

ψ1s(r)=2(1aB)32eraB14π=1πaB3eraB.

Ответ: ψ1s(r)=1πaB3eraB.

Пример 2

Задание: Какое количество разных ψ -- функций будет соответствовать n=4 ,без учета спина?

Решение:

В качестве основы для ответа на вопрос используем положение о том, что уроню энергии c номером n, принадлежит число состояний:

l=n1l=0m=lm=l1=n2(2.1).

Получаем, что при n=4 волновых функций будет 16.

Ответ: Если не учитывать спин, то 16.

Дата последнего обновления статьи: 01.06.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Уровни энергии и волновые функции стационарных состояний"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant