Уровни энергии и волновые функции стационарных состояний

Энергии стационарных состояний атома водорода

Атом водорода -- это пример простейшей атомной системы. Он состоит из положительно заряженного ядра и электрона. Между частицами действует сила Кулона. Потенциальное поле записывают в виде: $U\left(r\right)=-\frac{Zq^2_e}{4\pi {\varepsilon }_0r}$. Масса ядра существенно больше, чем масса электрона, поэтому протон считают неподвижным. Энергия данной системы двух частиц находится при решении радиальной части уравнения Шредингера:

При исследовании уравнения (1) получают, что величины энергии для водородоподобного атома в стационарных состояниях зависят только от главного квантового числа $n$:

Уровни энергии $E_n$ вырождены. Уроню энергии c номером $n,$ принадлежит число состояний:

Уровни энергии щелочных металлов

Энергетические уровни щелочных металлов и подобных им ионов можно определить с помощью формулы:

где $\triangle =l^*-l$, $l^*=-\frac{1}{2}\pm \sqrt{{(l+\frac{1}{2})}^2-\frac{2m}{{\hbar }^2}CZ_aq^2_e}$,$\ l$ -- орбитальное квантовое число. Энергия, которой обладает электрон в атоме щелочного металла зависит не только от $n$, но и числа $l$ . Получается, что в не кулоновском поле вырождения по $l$ отсутствует, остается только вырождение по $m$. Энергия от $m$ не зависит, так ка пространство изотропно.

Волновые функции стационарных состояний атома водорода

Радиальная волновая функция, которая является собственной волновой функцией уравнения (1) может быть представлена в виде:

где $k=n-l-1,$ $\rho =2\sqrt{A}r,$ $A=-\frac{2mE}{{\hbar }^2},\ Q^{\left(2l+1\right)}_k\left(\rho \right)$ -- полином Лаггера:

Коэффициент $N_{nl}$ находят из условия нормировки для радиальных функций:

Вычисляя интеграл (6) и выразив искомый $N_{nl}$, получают:

где $A=\frac{2mE}{{\hbar }^2}=\frac{Z}{{\left(a_Bn\right)}^2}$, $a_B=\frac{4\pi {\varepsilon }_0{\hbar }^2}{m{q_e}^2}$ -- первый Боровский радиус.

Полные стационарные волновые функции водородоподобной системы записывают как:

где угловая волновая сферическая функция $Y^m_l\left(\theta ,\varphi \right)=\sqrt{\frac{2l+1\left(l-m\right)!}{4\pi \left(l+m\right)!}}e^{im\varphi }P^m_l\left(cos\theta \right),$ здесь $P^m_l\left(cos\theta \right)$ -- присоединенный полином Лежандра (функция $Y^m_l\left(\theta ,\varphi \right)$ нормирована на единицу). Для частного случая (при $m=0$) присоединенные полиномы становятся обычными полиномами Лежандра $P_l\left(cos\theta \right).$ Так, например (функции ненормированные):

Выражение для радиальной составляющей функции (6) имеет вид:

где $c=\frac{2Zr}{a_Bn}$, $n=1,2,3,\dots .$ $l=0,1,2,\dots ,n-1,\ m=-l,-l+1,\dots ,l-1,l.$

Примеры явных выражений для радиальных волновых функций:

Для $1s^-$ состояния, что означает: $l=0$ $n=1:$

Для состояния $2s$ ($l=0$ $n=2$):

Свойства волновых функций

Собственные функции ($\psi$- функции) содержат три параметра (целые числа) - $n,l,m$ (6). Волновые функции, удовлетворяющие естественным условиям, существуют, только если величины $l$ не больше $n-1$. При заданном $l,$ магнитное квантовое число ($m$) может принимать $2l+1$ разных величин.

Энергия электрона зависит только от главного квантового числа. Каждому собственному значению $E_n$ соответствует несколько собственных $\psi_{nlm}$ --функций (исключение составляет случай $n=1$). При этом волновые функции будут отличаться квантовыми числами $l\ и\ m$. Из чего следует, что имея одно значение энергии, электрон может существовать в разных состояниях.

В квантовой теории не говорят о траектории электрона в атоме. Смысл придают только состоянию (описывает волновая функция) и вероятность места пребывания электрона. Часто вводят понятие электронного облака, плотность распределения его для любой точки пропорциональна плотности вероятности ($\frac{dP}{dV}=\psi\psi^*$) пребывания электрона в исследуемой точке. Пространственное распределение в электронном облаке атома можно описывать либо ${\left|\psi\left(r\right)\right|}^2(вероятность\ пребывания\ в\ единице\ объема)$, либо $r^2{\left|\psi\left(r\right)\right|}^2(вероятность\ пребывания\ в\ сферическом\ слое\ единичной\ толщины)$.

Существенной особенностью состояний электрона является то, что все состояния при $l\ne 0$ становятся равны нулю в начале координат. При увеличении величины орбитального момента большая электронная плотность «убегает» от ядра благодаря центробежным силам потенциального барьера. Для $s$ -- состояний потенциального барьера нет и волновая функция не равна нулю в начале координат. Данный факт ведет тому, что структур s- состояний наиболее чувствительна к структуре потенциала около центра атома, так как имеется вероятность отличная от нуля найти электрон в области около центра силы.