Атомы водородоподобных атомов -- это примеры простейших атомов. Они состоят из положительно заряженного ядра и электрона. Между частицами действует сила Кулона. То есть потенциальное поле записывают в виде: U(r)=−Zq2e4πε0r. Масса ядра существенно больше, чем масса электрона, поэтому протон считают неподвижным. Энергия данной системы двух частиц находится из решения уравнения для радиальной части ψ -- функции:
Решение уравнения (1) при Z>1, находят энергетические уровни положительно заряженного иона с одним электроном. Введем следующие обозначения:
и используем новую переменную:
При этом радиальное уравнение запишем как:
где производные от R по ρ обозначены штрихами.
Рассмотрим асимптотическое поведение R при ρ→∞. В данном случае, слагаемыми, пропорциональными 1ρ и 1ρ2 можно пренебречь, тогда радиальное уравнение перепишем в виде:
Решением уравнения (5) станет функция:
При решении уравнения (5) положительную экспоненциальную функцию отбрасывают, так как волновая функция должна быть конечной.
При ρ→0 главными составляющими в радиальном уравнении становятся слагаемые с максимальной степенью ρ в знаменателе. Следовательно, в таком случае уравнение (4) примет вид:
Решение уравнения (7) при ρ→0 ведет себя как:
при этом R′∼γργ−1,R″∼γ(γ−1)ργ−2 . Используя уравнение (7) получаем уравнение для нахождения γ вида:
Уравнение (9) легко преобразуется к виду:
Решениями уравнения (10) будут выражения:
Решение γ2=−l−1 отбросим, так как оно не конечно в начале координат, что очевидно из (8). Получаем:
Положим, что:
тогда подстановка выражения (13) в (5) дает уравнение для функции v уравнение:
Из асимптотического поведения функции R дает, что функция v в бесконечност растет медленнее, чем eρ2, а около нуля она постоянна или равна нулю. Значит вид данной функции:
Ряд (15) бесконечный, но ему добавляют условие обрыва, которое имеет вид:
Принимая во внимание выражения (2) получаем выражение для уровней энергии вида:
где n=l+k+1. При этом n -- главное квантовое число, l -- орбитальное квантовое число, k -- радиальное квантовое число.
И так, радиальное уравнение определяет возможные значения энергии, которые зависят от вида функции U(r).
Задание: Покажите, что ряд, который определяет функцию v=∞∑k=0akρk, входящую в решение радиального уравнения Шредингера для водородоподобного атома R=e−ρ2ρlv конечен.\textit{}
\textbf{Решение}:
В качестве основы для решения используем уравнение:
R″−14R≈0(1.1),которое получено из радиального уравнения при ρ→∞. Решение уравнения вида (1.1) есть функция: R=e−ρ2ρlv. Подстановка выражения для R в (1.1) дает уравнение для функции v:
ρv″+[2(l+1)−ρ]v′+(B√A−l−1)v=0(1.2).Исследуемое выражение:
v=∞∑k=0akρk(1.3).подставим в уравнение (1.2), имеем:
∞∑k=0(B√A−l−1−k)akρk+∞∑k=0[2(l+1)k+k(k−1)]akρk−1(1.4).Приравняем к нулю коэффициенты при одинаковых ρ, найдем рекуррентные соотношения для нахождения ak:
(B√A−l−1−k)ak+ak+1(k+1)[2(l+1)+k]=0(1.5).Следовательно, получили:
ak+1=(l+1+k−B√A)ak(k+1)[2(l+1)+k]→ak+1ak=1−εkk+1(1.6),где εk=(l+1+B√A)ak[2l+k+2]. При limk→∞εk =0. Следовательно, с некоторого k=k0 выполняется равенство:
ak+1ak=1−εkk+1>1−εk0k+1(1.7).При больших k величина εk0 может быть мала. Неравенство (1.7) означает, что начиная с k=k0 члены ряда (1.3) растут быстрее, чем члены ряда вида:
e(1−εk0)ρ=∞∑k=0(1−εk0)kn!ρk(1.8).Функция v, которая определена бесконечным рядом, растет быстрее, чем функция, заданная выражением(1.8). Величина εk0 может быть очень мала. Значит, если v представляется бесконечным рядом, то функция R=e−ρ2ρlv в бесконечности становится равной нулю, что невозможно. Значит ряд (1.3) конечен. Оборвем его на k, то есть считаем:
ak≠0, ak+1=ak+2=⋯=0(1.9).Что требовалось показать.
Задание: Каков физический смысл квантовых чисел n и l?
Решение:
Вероятность нахождения электрона в разных частях атома различна. Электрон при своем движении как будто распределен по всему объему, при этом возникает электронное облако, плотность его характеризует вероятность присутствия электрона в разных местах объема атома. Квантовые числа (n,l) при этом характеризуют размер и форму данного электронного облака.