Атомы водородоподобных атомов -- это примеры простейших атомов. Они состоят из положительно заряженного ядра и электрона. Между частицами действует сила Кулона. То есть потенциальное поле записывают в виде: U(r)=−Zq2e4πε0r. Масса ядра существенно больше, чем масса электрона, поэтому протон считают неподвижным. Энергия данной системы двух частиц находится из решения уравнения для радиальной части ψ -- функции:
Решение уравнения (1) при Z>1, находят энергетические уровни положительно заряженного иона с одним электроном. Введем следующие обозначения:
и используем новую переменную:
При этом радиальное уравнение запишем как:
где производные от R по ρ обозначены штрихами.
Рассмотрим асимптотическое поведение R при ρ→∞. В данном случае, слагаемыми, пропорциональными 1ρ и 1ρ2 можно пренебречь, тогда радиальное уравнение перепишем в виде:
Решением уравнения (5) станет функция:
При решении уравнения (5) положительную экспоненциальную функцию отбрасывают, так как волновая функция должна быть конечной.
При ρ→0 главными составляющими в радиальном уравнении становятся слагаемые с максимальной степенью ρ в знаменателе. Следовательно, в таком случае уравнение (4) примет вид:
Решение уравнения (7) при ρ→0 ведет себя как:
при этом R′∼γργ−1,R″. Используя уравнение (7) получаем уравнение для нахождения \gamma вида:
Уравнение (9) легко преобразуется к виду:
Решениями уравнения (10) будут выражения:
Решение {\gamma }_2=-l-1 отбросим, так как оно не конечно в начале координат, что очевидно из (8). Получаем:
Положим, что:
тогда подстановка выражения (13) в (5) дает уравнение для функции v уравнение:
Из асимптотического поведения функции R дает, что функция v в бесконечност растет медленнее, чем e^{\frac{\rho }{2}}, а около нуля она постоянна или равна нулю. Значит вид данной функции:
Ряд (15) бесконечный, но ему добавляют условие обрыва, которое имеет вид:
Принимая во внимание выражения (2) получаем выражение для уровней энергии вида:
где n=l+k+1. При этом n -- главное квантовое число, l -- орбитальное квантовое число, k -- радиальное квантовое число.
И так, радиальное уравнение определяет возможные значения энергии, которые зависят от вида функции U(r).
Задание: Покажите, что ряд, который определяет функцию v=\sum\limits^{\infty }_{k=0}{a_k{\rho }^k,}\ входящую в решение радиального уравнения Шредингера для водородоподобного атома R=e^{-\frac{\rho }{2}}{\rho }^lv\ \ конечен.\textit{}
\textbf{Решение}:
В качестве основы для решения используем уравнение:
R^{''}-\frac{1}{4}R\approx 0\left(1.1\right),которое получено из радиального уравнения при \rho \to \infty . Решение уравнения вида (1.1) есть функция: R=e^{-\frac{\rho }{2}}{\rho }^lv. Подстановка выражения для R в (1.1) дает уравнение для функции v:
\rho v^{''}+\left[2\left(l+1\right)-\rho \right]v'+\left(\frac{B}{\sqrt{A}}-l-1\right)v=0\left(1.2\right).Исследуемое выражение:
v=\sum\limits^{\infty }_{k=0}{a_k{\rho }^k\left(1.3\right).}подставим в уравнение (1.2), имеем:
\sum\limits^{\infty }_{k=0}{{(\frac{B}{\sqrt{A}}-l-1-k)a}_k{\rho }^k+\sum\limits^{\infty }_{k=0}{\left[2\left(l+1\right)k+k(k-1)\right]a_k{\rho }^{k-1}}\left(1.4\right).}Приравняем к нулю коэффициенты при одинаковых \rho , найдем рекуррентные соотношения для нахождения a_k:
{(\frac{B}{\sqrt{A}}-l-1-k)a}_k+a_{k+1}\left(k+1\right)\left[2\left(l+1\right)+k\right]=0\left(1.5\right).Следовательно, получили:
a_{k+1}=\frac{{\left(l+1+k-\frac{B}{\sqrt{A}}\right)a}_k}{\left(k+1\right)\left[2\left(l+1\right)+k\right]}\to \frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{1-{\varepsilon }_k}{k+1}\left(1.6\right),где {\varepsilon }_k=\frac{{\left(l+1+\frac{B}{\sqrt{A}}\right)a}_k}{\left[2l+k+2\right]}. При {\mathop{\lim }_{k\to \infty } {\varepsilon }_k\ }=0. Следовательно, с некоторого k=k_0 выполняется равенство:
\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{1-{\varepsilon }_k}{k+1}>\frac{1-{\varepsilon }_{k_0}}{k+1}\left(1.7\right).При больших k величина {\varepsilon }_{k_0} может быть мала. Неравенство (1.7) означает, что начиная с k=k_0 члены ряда (1.3) растут быстрее, чем члены ряда вида:
e^{(1-{\varepsilon }_{k_0})\rho }=\sum\limits^{\infty }_{k=0}{\frac{{\left(1-{\varepsilon }_{k_0}\right)}^k}{n!}}{\rho }^k\left(1.8\right).Функция v, которая определена бесконечным рядом, растет быстрее, чем функция, заданная выражением(1.8). Величина {\varepsilon }_{k_0} может быть очень мала. Значит, если v представляется бесконечным рядом, то функция R=e^{-\frac{\rho }{2}}{\rho }^lv в бесконечности становится равной нулю, что невозможно. Значит ряд (1.3) конечен. Оборвем его на k, то есть считаем:
a_k\ne 0,\ a_{k+1}=a_{k+2}=\dots =0\left(1.9\right).Что требовалось показать.
Задание: Каков физический смысл квантовых чисел n\ и\ l?
Решение:
Вероятность нахождения электрона в разных частях атома различна. Электрон при своем движении как будто распределен по всему объему, при этом возникает электронное облако, плотность его характеризует вероятность присутствия электрона в разных местах объема атома. Квантовые числа (n,l) при этом характеризуют размер и форму данного электронного облака.
