Атомы водородоподобных атомов -- это примеры простейших атомов. Они состоят из положительно заряженного ядра и электрона. Между частицами действует сила Кулона. То есть потенциальное поле записывают в виде: $U\left(r\right)=-\frac{Zq^2_e}{4\pi {\varepsilon }_0r}$. Масса ядра существенно больше, чем масса электрона, поэтому протон считают неподвижным. Энергия данной системы двух частиц находится из решения уравнения для радиальной части $\psi$ -- функции:
Решение уравнения (1) при $Z >1$, находят энергетические уровни положительно заряженного иона с одним электроном. Введем следующие обозначения:
и используем новую переменную:
При этом радиальное уравнение запишем как:
где производные от R по $\rho $ обозначены штрихами.
Рассмотрим асимптотическое поведение R при $\rho \to \infty .$ В данном случае, слагаемыми, пропорциональными $\frac{1}{\rho }\ и\ \frac{1}{{\rho }^2}$ можно пренебречь, тогда радиальное уравнение перепишем в виде:
Решением уравнения (5) станет функция:
При решении уравнения (5) положительную экспоненциальную функцию отбрасывают, так как волновая функция должна быть конечной.
При $\rho \to 0$ главными составляющими в радиальном уравнении становятся слагаемые с максимальной степенью $\rho $ в знаменателе. Следовательно, в таком случае уравнение (4) примет вид:
Решение уравнения (7) при $\rho \to 0$ ведет себя как:
при этом $R'\sim \gamma {\rho }^{\gamma -1},R^{''}\sim \gamma (\gamma -1){\rho }^{\gamma -2}\ $. Используя уравнение (7) получаем уравнение для нахождения $\gamma $ вида:
Уравнение (9) легко преобразуется к виду:
Решениями уравнения (10) будут выражения:
Решение ${\gamma }_2=-l-1$ отбросим, так как оно не конечно в начале координат, что очевидно из (8). Получаем:
Положим, что:
тогда подстановка выражения (13) в (5) дает уравнение для функции $v$ уравнение:
Из асимптотического поведения функции R дает, что функция $v$ в бесконечност растет медленнее, чем $e^{\frac{\rho }{2}}$, а около нуля она постоянна или равна нулю. Значит вид данной функции:
Ряд (15) бесконечный, но ему добавляют условие обрыва, которое имеет вид:
Принимая во внимание выражения (2) получаем выражение для уровней энергии вида:
где $n=l+k+1$. При этом $n$ -- главное квантовое число, $l$ -- орбитальное квантовое число, $k$ -- радиальное квантовое число.
И так, радиальное уравнение определяет возможные значения энергии, которые зависят от вида функции $U(r)$.
Задание: Покажите, что ряд, который определяет функцию $v=\sum\limits^{\infty }_{k=0}{a_k{\rho }^k,}\ $входящую в решение радиального уравнения Шредингера для водородоподобного атома $R=e^{-\frac{\rho }{2}}{\rho }^lv\ \ $конечен.\textit{}
\textbf{Решение}:
В качестве основы для решения используем уравнение:
\[R^{''}-\frac{1}{4}R\approx 0\left(1.1\right),\]которое получено из радиального уравнения при $\rho \to \infty .$ Решение уравнения вида (1.1) есть функция: $R=e^{-\frac{\rho }{2}}{\rho }^lv.$ Подстановка выражения для $R$ в (1.1) дает уравнение для функции $v$:
\[\rho v^{''}+\left[2\left(l+1\right)-\rho \right]v'+\left(\frac{B}{\sqrt{A}}-l-1\right)v=0\left(1.2\right).\]Исследуемое выражение:
\[v=\sum\limits^{\infty }_{k=0}{a_k{\rho }^k\left(1.3\right).}\]подставим в уравнение (1.2), имеем:
\[\sum\limits^{\infty }_{k=0}{{(\frac{B}{\sqrt{A}}-l-1-k)a}_k{\rho }^k+\sum\limits^{\infty }_{k=0}{\left[2\left(l+1\right)k+k(k-1)\right]a_k{\rho }^{k-1}}\left(1.4\right).}\]Приравняем к нулю коэффициенты при одинаковых $\rho ,$ найдем рекуррентные соотношения для нахождения $a_k$:
\[{(\frac{B}{\sqrt{A}}-l-1-k)a}_k+a_{k+1}\left(k+1\right)\left[2\left(l+1\right)+k\right]=0\left(1.5\right).\]Следовательно, получили:
\[a_{k+1}=\frac{{\left(l+1+k-\frac{B}{\sqrt{A}}\right)a}_k}{\left(k+1\right)\left[2\left(l+1\right)+k\right]}\to \frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{1-{\varepsilon }_k}{k+1}\left(1.6\right),\]где ${\varepsilon }_k=\frac{{\left(l+1+\frac{B}{\sqrt{A}}\right)a}_k}{\left[2l+k+2\right]}.$ При ${\mathop{\lim }_{k\to \infty } {\varepsilon }_k\ }=0$. Следовательно, с некоторого $k=k_0$ выполняется равенство:
\[\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{1-{\varepsilon }_k}{k+1}>\frac{1-{\varepsilon }_{k_0}}{k+1}\left(1.7\right).\]При больших $k$ величина ${\varepsilon }_{k_0}$ может быть мала. Неравенство (1.7) означает, что начиная с $k=k_0$ члены ряда (1.3) растут быстрее, чем члены ряда вида:
\[e^{(1-{\varepsilon }_{k_0})\rho }=\sum\limits^{\infty }_{k=0}{\frac{{\left(1-{\varepsilon }_{k_0}\right)}^k}{n!}}{\rho }^k\left(1.8\right).\]Функция $v$, которая определена бесконечным рядом, растет быстрее, чем функция, заданная выражением(1.8). Величина ${\varepsilon }_{k_0}$ может быть очень мала. Значит, если $v$ представляется бесконечным рядом, то функция $R=e^{-\frac{\rho }{2}}{\rho }^lv$ в бесконечности становится равной нулю, что невозможно. Значит ряд (1.3) конечен. Оборвем его на $k$, то есть считаем:
\[a_k\ne 0,\ a_{k+1}=a_{k+2}=\dots =0\left(1.9\right).\]Что требовалось показать.
Задание: Каков физический смысл квантовых чисел $n\ и\ l$?
Решение:
Вероятность нахождения электрона в разных частях атома различна. Электрон при своем движении как будто распределен по всему объему, при этом возникает электронное облако, плотность его характеризует вероятность присутствия электрона в разных местах объема атома. Квантовые числа ($n,l$) при этом характеризуют размер и форму данного электронного облака.
