Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Радиальное уравнение

Атомы водородоподобных атомов -- это примеры простейших атомов. Они состоят из положительно заряженного ядра и электрона. Между частицами действует сила Кулона. То есть потенциальное поле записывают в виде: U(r)=Zq2e4πε0r. Масса ядра существенно больше, чем масса электрона, поэтому протон считают неподвижным. Энергия данной системы двух частиц находится из решения уравнения для радиальной части ψ -- функции:

Решение уравнения (1) при Z>1, находят энергетические уровни положительно заряженного иона с одним электроном. Введем следующие обозначения:

и используем новую переменную:

При этом радиальное уравнение запишем как:

где производные от R по ρ обозначены штрихами.

Рассмотрим асимптотическое поведение R при ρ. В данном случае, слагаемыми, пропорциональными 1ρ и 1ρ2 можно пренебречь, тогда радиальное уравнение перепишем в виде:

Решением уравнения (5) станет функция:

При решении уравнения (5) положительную экспоненциальную функцию отбрасывают, так как волновая функция должна быть конечной.

При ρ0 главными составляющими в радиальном уравнении становятся слагаемые с максимальной степенью ρ в знаменателе. Следовательно, в таком случае уравнение (4) примет вид:

Решение уравнения (7) при ρ0 ведет себя как:

при этом Rγργ1,Rγ(γ1)ργ2 . Используя уравнение (7) получаем уравнение для нахождения γ вида:

Уравнение (9) легко преобразуется к виду:

Решениями уравнения (10) будут выражения:

Решение γ2=l1 отбросим, так как оно не конечно в начале координат, что очевидно из (8). Получаем:

Положим, что:

тогда подстановка выражения (13) в (5) дает уравнение для функции v уравнение:

Из асимптотического поведения функции R дает, что функция v в бесконечност растет медленнее, чем eρ2, а около нуля она постоянна или равна нулю. Значит вид данной функции:

«Радиальное уравнение» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

Ряд (15) бесконечный, но ему добавляют условие обрыва, которое имеет вид:

Принимая во внимание выражения (2) получаем выражение для уровней энергии вида:

где n=l+k+1. При этом n -- главное квантовое число, l -- орбитальное квантовое число, k -- радиальное квантовое число.

И так, радиальное уравнение определяет возможные значения энергии, которые зависят от вида функции U(r).

Пример 1

Задание: Покажите, что ряд, который определяет функцию v=k=0akρk, входящую в решение радиального уравнения Шредингера для водородоподобного атома R=eρ2ρlv  конечен.\textit{}

\textbf{Решение}:

В качестве основы для решения используем уравнение:

R14R0(1.1),

которое получено из радиального уравнения при ρ. Решение уравнения вида (1.1) есть функция: R=eρ2ρlv. Подстановка выражения для R в (1.1) дает уравнение для функции v:

ρv+[2(l+1)ρ]v+(BAl1)v=0(1.2).

Исследуемое выражение:

v=k=0akρk(1.3).

подставим в уравнение (1.2), имеем:

k=0(BAl1k)akρk+k=0[2(l+1)k+k(k1)]akρk1(1.4).

Приравняем к нулю коэффициенты при одинаковых ρ, найдем рекуррентные соотношения для нахождения ak:

(BAl1k)ak+ak+1(k+1)[2(l+1)+k]=0(1.5).

Следовательно, получили:

ak+1=(l+1+kBA)ak(k+1)[2(l+1)+k]ak+1ak=1εkk+1(1.6),

где εk=(l+1+BA)ak[2l+k+2]. При limkεk =0. Следовательно, с некоторого k=k0 выполняется равенство:

ak+1ak=1εkk+1>1εk0k+1(1.7).

При больших k величина εk0 может быть мала. Неравенство (1.7) означает, что начиная с k=k0 члены ряда (1.3) растут быстрее, чем члены ряда вида:

e(1εk0)ρ=k=0(1εk0)kn!ρk(1.8).

Функция v, которая определена бесконечным рядом, растет быстрее, чем функция, заданная выражением(1.8). Величина εk0 может быть очень мала. Значит, если v представляется бесконечным рядом, то функция R=eρ2ρlv в бесконечности становится равной нулю, что невозможно. Значит ряд (1.3) конечен. Оборвем его на k, то есть считаем:

ak0, ak+1=ak+2==0(1.9).

Что требовалось показать.

Пример 2

Задание: Каков физический смысл квантовых чисел n и l?

Решение:

Вероятность нахождения электрона в разных частях атома различна. Электрон при своем движении как будто распределен по всему объему, при этом возникает электронное облако, плотность его характеризует вероятность присутствия электрона в разных местах объема атома. Квантовые числа (n,l) при этом характеризуют размер и форму данного электронного облака.

Дата последнего обновления статьи: 01.06.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Радиальное уравнение"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant