Квазистационарное состояние. Ширина энергетических уровней
Пусть система находится в стационарном состоянии, если не учитывать возмущения. Возмущение системы ведет к квантовым переходам и превращению энергетических уровней из линий в полосы, которые имеют конечную ширину:
Эмпирически получено, что в отсутствии переменного внешнего поля все энергоуровни системы за исключением основного имеют конечную ширину. Состояния системы, находящейся в возбуждении являются нестационарными, и через некоторое время система переходит в основное состояние самопроизвольно.
Если система переходит в какое -- либо состояние под воздействием переменного поля, то он называется вынужденным. Самопроизвольный переход называют спонтанным. Из-за спонтанных переходов возбужденные состояния характеризуют временем жизни.
В том случае, если время жизни подчиняется неравенству:
где $E_{m'}$ -- уровень энергии квазистационарного состояния. Для спонтанных и вынужденных переходов неопределенность уровня энергии и время жизни состояния связаны.
Итак, если неопределенность энергии системы много меньше, чем ее средняя величина, то данное состояние системы называют квазистационарным.
Рассмотрим вероятность перехода из состояния $E_{m'}=E_m\pm \triangle E_m$ в состояние $E_n\ $применив теорию возмущений (первое приближение). Обозначим $T$- время жизни состояния.
где$P_{mn}$- плотность вероятности перехода между уровнями энергии $E_n$ и $E_{m'}$, $\omega $ -- частота колебаний внешнего поля, $U_{m'n}$ -- внешнее возмущение поле (оператор внешнего возмущения имеет вид: $\hat{U}\left(x,t\right)=U(x)e^{-i\omega t}$), $\rho \left(E\right)=\frac{d\nu }{dE}$- энергетическая плотность количества квантовых состояний в интервале $\triangle E_m,$ ${\omega }_{m'n}=\frac{E_{m'}-E_n}{\hbar }$ -- частота перехода.
Исследуем множитель:
Структура данного множителя - известная функция $\frac{{sin}^2x}{x^2}$. Данная функция существенно отлична от нуля в интервале: $-\pi \[\frac{T}{2\hbar }\triangle E_m=\pi \left(5\right).\]
Если учесть максимумы функции $\frac{{sin}^2x}{x^2}\ $за пределами интервала, окончательно получим формулу:
Выражение (6) - соотношение неопределенностей энергии и времени жизни нестационарного состояния (соотношение неопределённостей энергии и времени). Данное выражение имеет общий характер и применяется к любым взаимодействиям, которые вызывают нестационарное состояние разных квантовых систем и для квазистационарных состояний, имеющих спонтанные переходы.
Время жизни состояния системы
Надо отметить, что $T$ -- не является неопределённостью времени, что следует из приведенных выше рассуждений, а является временем жизни нестационарного состояния. Если выражение (6) используется для пояснения результатов измерений энергии, то $T$ -- трактуется как время воздействия возмущения, которое вносится измерительным прибором в стационарное состояние системы (время измерения).
Становится очевидной динамическая причина неопределенности энергии. Система получает некоторую долю энергии извне. Определить количество отданной системе энергии нельзя заранее, так как квантовые переход имеют случайный характер.
Получается, что чем интенсивнее воздействие на систему извне, тем больше энергии ей передается, следовательно, тем меньше время жизни состояния. Изолированные системы (не подвергающиеся внешним воздействиям), в которых происходят только спонтанные переходы, имеют довольно большое время жизни имеющихся у них состояний. Такие состояния и называются квазистационарными. Условие (2) для таких систем при помощи неравенства (6) преобразуется к виду:
В таком случае речь идет о дискретных состояниях.
Спонтанные переходы из квазистационарных состояний в стационарные часто описывается законом распада:
где $N_0$ -- количество систем, пребывающих в состоянии $1$ в начальный момент времени ($t=0$). Количество переходов $1-2$ в большом числе систем к моменту времени $t$ описывает выражение:
Выражения (8) и (9) отражают статистический закон распределения переходов со временем. Для того чтобы данные законы выполнялись, необходимо $N ≫ 1$ в течение всего времени наблюдения.
Из выражения (8) статистическая трактовка времени жизни состояния $T$ имеет следующий вид:
Что означает $T$ -- это время, за которое число систем в состоянии $1$ уменьшилось в e раз.
Помимо спонтанных переходов, которые характерны для атомов и молекул, спонтанный распад наблюдается для ядер атомов нестабильных частиц.
Охарактеризуйте спонтанное излучение. Как спонтанное излучение связано с квазистационарным состоянием?
Решение:
Уравнение Шредингера приводит к обоснованию стационарных состояний атомов. Атомы как системы, состоящие из ярда и электронов, связаны внутренними силами, и могут существовать в состояниях с определенной энергией длительное время. Состояния неизменны до тех пор пока внешнее переменное поле не вызовет квантовые переходы. Следовательно, атом без внешнего воздействия излучать не должен.
Надо заметить, то в реальности происходит иначе. Атом в состоянии возбуждения находится очень короткое время. Излучение при отсутствии внешнего поля существует. Это так называемое спонтанное излучение. Вероятность спонтанных переходов из всех возбужденных состояний в основные или имеющие меньшие энергии отлична от нуля. Это означает, что все данные состояния квазистационарны. Спонтанный переход можно рассматривать как распад квазистационарного состояния. Ширину уровня энергий квазистационарного состояния можно определить как:
\[\triangle E_m=\frac{2\pi \hbar }{{\tau }_{mn}}\left(1.1\right),\]где ${\tau }_{mn}$ -- время жизни квазистационарного состояния. $\triangle E_m$ называют естественной шириной.
Число фотонов, которое испускается за время t при спонтанных переходах равно:
\[\epsilon_{2,1}=N_n\left(0\right)\left(1-e^{-P_{mn}t}\right)\left(1.2\right),\]где $P_{mn}$ -- вероятность испускания фотона.
Произведите оценку расплывания энергетического уровня в атоме водорода для возбужденного состояния, время жизни которого равно ${10}^{-10}$с.
Решение:
В качестве основы для решения задачи используем неравенство:
\[\triangle E_mT\ge 2\pi \hbar \left(2.1\right).\]которое является соотношением неопределенностей энергии и времени жизни нестационарного состояния. Выразим из (2.1) $\triangle E_m$, получим:
\[\triangle E_m\ge \frac{h}{T}\left(2.2\right).\]Проведем вычисления:
\[\triangle E_m\approx \frac{6,63\cdot {10}^{-34}}{{10}^{-10}}=6,63\cdot {10}^{-24}\left(Дж\right)=4,14\cdot {10}^{-9}\left(эВ\right).\]Ответ: $\triangle E_m=4,14\cdot {10}^{-9}эВ.$
