Квантовая система в поле электромагнитной волны
В качестве квантовой системы может выступать атом, ядро, молекула, электронная подсистема твердого тела.
В том случае, если атом поместить во внешнее электромагнитное поле, то его энергетическое состояние изменится. При этом все энергетические уровни сместятся на величину △E, которая зависит от напряженности приложенного поля. Возникновение выделенных направлений в пространстве вдоль векторов →Eи →B ведет к тому, что происходит расщепление уровня с заданным моментом импульса на совокупность компонент с разными проекциями (Jz) полного момента →J. Смещение энергоуровней атома под воздействием внешнего электрического поля называется эффектом Штарка. Смещение энергоуровней атома под воздействием внешнего магнитного поля называется эффектом Зеемана.
Допустим, что атом описывается гамильтонианом ˆH0 и нам известна совокупность собственных функций (Ψn) и собственных значений (En) для данного оператора Гамильтона, которые удовлетворяют уравнению:
Опишем электромагнитную волну, в которую поместим атом при помощи уравнений:
Электромагнитная волна (в вакууме, поле считаем однородным) действует на электрон атома с силой, равной:
Будем считать, что поле слабое, при этом электрон является нерелятивистским. Так как рассматриваем электромагнитную волну в вакууме, то магнитная и электрическая части силы (4) связаны соотношением:
где α -- постоянная тонкой структуры. Из выражения (5) можно сделать вывод о том, что магнитной составляющей силы →F (4) можно пренебречь. Следовательно, считаем, что на электрон атома действует только электрическое поле волны. Допустим, что длина волны электромагнитного излучения равна:
И она существенно больше, чем размер квантовой системы (a):
Для атома в качестве характерного размера (a) применяют Боровский радиус. Получается, что для оптического диапазона длин волн условие (7) выполняется. Значит, электрическое поле волны, действительно можно считать однородным в пространстве, то есть:
В том случае, если требуется рассмотреть взаимодействие рентгеновского излучения с квантовой системой, то необходимо учесть пространственную неоднородность поля электромагнитной волны. Условия (5) и (7) являются условиями применимости электрического дипольного приближения для исследований взаимодействия квантовой системы с полем электромагнитной волны. Основные положения такого приближения заключены:
- в пренебрежении воздействием магнитного поля на квантовую систему;
- в возможности не учитывать напряженности электрического поля волны в пространстве в рамках размера квантовой системы.
По сути, электрическое дипольное приближение является первым членом мультипольного разложения энергии при взаимодействии квантовой системы с полем волны.
Энергия взаимодействия атома с внешним электрическим полем (W) может быть определена как:
где →d=qe∑i→ri -- дипольный момент атома как системы зарядов. Для одного электрона имеем:
где →r -- координата электрона в атоме (совместим начало координат с ядром).
Если мы рассматриваем классическую квантовую теорию, то выражение (9) перепишем в операторном виде:
где ˆd -- оператор дипольного момента. С точностью до заряда электрона данный оператор совпадает с оператором координаты.
Рассматривая линейную поляризацию поля, направим ось Z по направлению вектора →E. В таком случае, выражение (11) предстанет в виде:
Значит, применяя описанные выше приближения, оператор Гамильтона можно записать как:
Изменение квантовой системы со временем под воздействием поля электромагнитной волны будет описываться решением уравнения Шредингера вида:
будет описываться решениями уравнения Шредингера вида:
Задание: Каково условие применимости теории возмущений по взаимодействию квантовой системы с полем электромагнитной волны относительно напряженности приложенного поля?
Решение:
Энергию взаимодействия атомного ядра и электрона атома (U) можно оценить при помощи соотношения:
U∼q2erB(1.1),где rB -- Боровский радиус.
Предположим, что дипольный момент атома -- это величина порядка qerB, получим оценку для W:
W∼qerBE(1.2).При условии величины напряженности электрического поля (E):
E≪qer2B (1.3)−дополнительная энергия, которая возникает в результате взаимодействия электромагнитного поля и атома малы в сравнении с внутриатомной энергией. При заданных условиях действие внешнего электромагнитного поля можно рассматривать как малую поправку и учитывать, используя теорию возмущений.
Величина равная:
Ea=qer2B≈5⋅109(Всм)есть напряженность электрического поля внутри атома. Поэтому условие (1.3) означает то, что решение задачи в соответствии с теорией возмущения возможно, если напряженность поля электромагнитной волны в которое помещают квантовую систему много меньше, чем Ea.
Задание: Объясните, возможно ли использование электрического дипольного приближения для анализа взаимодействия γ -- излучения и атомного ядра.
Решение:
Характерной энергией нуклонов в атомных ядрах является величина равная нескольким MэВ. При этом нуклоны являются нерелятивистскими. Энергия покоя нуклона составляет порядка 103МэВ. Энергия γ− квантов равна Eγ≈1−10МэВ, тогда соответствующие длины волн λ≈10−10−10−11см, что больше, чем размер ядра атома (RN≈10−13−10−12см).
Получаем, что условия возможности применения электрического дипольного приближения обычно выполняются для анализа взаимодействия γ -- излучения и атомного ядра.
