Квантовая система в поле электромагнитной волны
В качестве квантовой системы может выступать атом, ядро, молекула, электронная подсистема твердого тела.
В том случае, если атом поместить во внешнее электромагнитное поле, то его энергетическое состояние изменится. При этом все энергетические уровни сместятся на величину $\triangle E$, которая зависит от напряженности приложенного поля. Возникновение выделенных направлений в пространстве вдоль векторов $\overrightarrow{E}и\ \overrightarrow{B}$ ведет к тому, что происходит расщепление уровня с заданным моментом импульса на совокупность компонент с разными проекциями ($J_z$) полного момента $\overrightarrow{J}.$ Смещение энергоуровней атома под воздействием внешнего электрического поля называется эффектом Штарка. Смещение энергоуровней атома под воздействием внешнего магнитного поля называется эффектом Зеемана.
Допустим, что атом описывается гамильтонианом ${\hat{H}}_0$ и нам известна совокупность собственных функций ($\Psi_n$) и собственных значений ($E_n$) для данного оператора Гамильтона, которые удовлетворяют уравнению:
Опишем электромагнитную волну, в которую поместим атом при помощи уравнений:
Электромагнитная волна (в вакууме, поле считаем однородным) действует на электрон атома с силой, равной:
Будем считать, что поле слабое, при этом электрон является нерелятивистским. Так как рассматриваем электромагнитную волну в вакууме, то магнитная и электрическая части силы (4) связаны соотношением:
где $\alpha $ -- постоянная тонкой структуры. Из выражения (5) можно сделать вывод о том, что магнитной составляющей силы $\overrightarrow{F}$ (4) можно пренебречь. Следовательно, считаем, что на электрон атома действует только электрическое поле волны. Допустим, что длина волны электромагнитного излучения равна:
И она существенно больше, чем размер квантовой системы ($a$):
Для атома в качестве характерного размера ($a$) применяют Боровский радиус. Получается, что для оптического диапазона длин волн условие (7) выполняется. Значит, электрическое поле волны, действительно можно считать однородным в пространстве, то есть:
В том случае, если требуется рассмотреть взаимодействие рентгеновского излучения с квантовой системой, то необходимо учесть пространственную неоднородность поля электромагнитной волны. Условия (5) и (7) являются условиями применимости электрического дипольного приближения для исследований взаимодействия квантовой системы с полем электромагнитной волны. Основные положения такого приближения заключены:
- в пренебрежении воздействием магнитного поля на квантовую систему;
- в возможности не учитывать напряженности электрического поля волны в пространстве в рамках размера квантовой системы.
По сути, электрическое дипольное приближение является первым членом мультипольного разложения энергии при взаимодействии квантовой системы с полем волны.
Энергия взаимодействия атома с внешним электрическим полем (W) может быть определена как:
где $\overrightarrow{d}=q_e\sum\limits_i{{\overrightarrow{r}}_i}$ -- дипольный момент атома как системы зарядов. Для одного электрона имеем:
где $\overrightarrow{r}$ -- координата электрона в атоме (совместим начало координат с ядром).
Если мы рассматриваем классическую квантовую теорию, то выражение (9) перепишем в операторном виде:
где $\hat{d}$ -- оператор дипольного момента. С точностью до заряда электрона данный оператор совпадает с оператором координаты.
Рассматривая линейную поляризацию поля, направим ось $Z$ по направлению вектора $\overrightarrow{E}.$ В таком случае, выражение (11) предстанет в виде:
Значит, применяя описанные выше приближения, оператор Гамильтона можно записать как:
Изменение квантовой системы со временем под воздействием поля электромагнитной волны будет описываться решением уравнения Шредингера вида:
будет описываться решениями уравнения Шредингера вида:
Задание: Каково условие применимости теории возмущений по взаимодействию квантовой системы с полем электромагнитной волны относительно напряженности приложенного поля?
Решение:
Энергию взаимодействия атомного ядра и электрона атома ($U$) можно оценить при помощи соотношения:
\[U\sim \frac{q^2_e}{r_B}\left(1.1\right),\]где $r_B$ -- Боровский радиус.
Предположим, что дипольный момент атома -- это величина порядка $q_er_B$, получим оценку для $W$:
\[W\sim q_er_BE\left(1.2\right).\]При условии величины напряженности электрического поля $(E)$:
\[E\ll \frac{q_e}{r^2_B}\ \left(1.3\right)-\]дополнительная энергия, которая возникает в результате взаимодействия электромагнитного поля и атома малы в сравнении с внутриатомной энергией. При заданных условиях действие внешнего электромагнитного поля можно рассматривать как малую поправку и учитывать, используя теорию возмущений.
Величина равная:
\[E_a=\frac{q_e}{r^2_B}\approx 5\cdot {10}^9\left(\frac{В}{см}\right)\]есть напряженность электрического поля внутри атома. Поэтому условие (1.3) означает то, что решение задачи в соответствии с теорией возмущения возможно, если напряженность поля электромагнитной волны в которое помещают квантовую систему много меньше, чем $E_a.$
Задание: Объясните, возможно ли использование электрического дипольного приближения для анализа взаимодействия $\gamma $ -- излучения и атомного ядра.
Решение:
Характерной энергией нуклонов в атомных ядрах является величина равная нескольким MэВ. При этом нуклоны являются нерелятивистскими. Энергия покоя нуклона составляет порядка ${10}^3МэВ$. Энергия $\gamma -\ $квантов равна $E_{\gamma }\approx 1-10МэВ$, тогда соответствующие длины волн $\lambda \approx {10}^{-10}-{10}^{-11}см$, что больше, чем размер ядра атома ($R_N\approx {10}^{-13}-{10}^{-12}см$).
Получаем, что условия возможности применения электрического дипольного приближения обычно выполняются для анализа взаимодействия $\gamma $ -- излучения и атомного ядра.
