Вектор индукции магнитного поля

Задание: Проводник имеет форму квадрата, сторона которого равна d, по нему течет ток силы I. Найдите магнитную индукцию поля в точке пересечения диагоналей квадрата.

Решение:

Допустим, что плоскость проводника совпадает с плоскостью рис.2. Зададим направление токов.

Рис. 2

В точке О магнитное поле создают четыре прямолинейные проводника с током. Напряженности всех четырех полей направлены в соответствии с правилом правого винта от нас, перпендикулярно плоскости рисунка. Следовательно, векторную сумму полей в принципе суперпозиции заменим на алгебраическую, запишем:

$$B=B_1+B_2+B_3+B_4\left(1.1\right).$$

Причем из симметрии, очевидно, что модули всех индукций равны, значит, запишем, что:

$$B=4B_1\left(1.2\right).$$

В разделе «Электромагнетизм» мы нашли, формулу для расчета модуля вектора магнитной индукции прямолинейного проводника с током. В применении к нашему случаю модуль $\overrightarrow{B}$ будет иметь вид:

$$B_1=\frac{{\mu }_0I}{4\pi b}\left(cos\alpha -cos\beta \right)\left(1.3\right),$$

углы $\alpha$ и $\beta$ указаны на рис.1. В (1.3) $\beta =\pi -\alpha \to cos\beta ={cos \left(\pi -\alpha \right)\ }=-cos\alpha .$ Перепишем (1.3):

$$B_1=\frac{{\mu }_0I}{2\pi b}cos\alpha \left(1.4\right).$$

Так как мы имеем дело с квадратом, то заметим, что: $b=\frac{d}{2},\alpha =\frac{\pi }{4}\to cos\alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}.$ Подставим в (1.4), то что мы получили и (1.4) подставим в (1.2), имеем:

$$B=4\cdot \frac{{\mu }_0I}{\pi d}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{\pi d}{\mu }_0I.$$

Ответ: $B=\frac{2\sqrt{2}}{\pi d}{\mu }_0I.$

Задание: Бесконечно длинный проводник с током (I) согнут под прямым углом (рис.2). Найдите магнитную индукцию поля в точке А, которая указана на рис. 3.

Рис. 3

Решение:

В точке А поле создается двумя частями проводника:

$$\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B_{II}}+\overrightarrow{B_{\bot }}\left(2.1\right).$$

Рассмотрим горизонтальный участок, на продолжении которого лежит точка А. Этот участок проводника с током создает поле в точке А индукция $(\overrightarrow{B_{II}})$которого, равна нулю, так как в точке А углы между всеми элементами с током и радиус-векторами будут равны $\pi .\ $Следовательно, векторное произведение ($\left[d\overrightarrow{l}\overrightarrow{r}\right]$), в законе Био -- Савара -- Лапласа равно нулю:

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\oint{\frac{I\left[d\overrightarrow{l}\overrightarrow{r}\right]}{r^3}}\left(2.2\right),$$

где $\overrightarrow{r}$ -- радиус-вектор, проведенный от элемента тока $Id\overrightarrow{l}$ к точке, в которой ищется индукция магнитного поля ($\overrightarrow{B}$).

Индукция магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника с током (I) в точке А была бы равна:

$$B'=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{I}{b}\left(2.3\right).$$

У нас полу бесконечный проводник, следовательно, из принципа суперпозиции получим, что для нашего проводника индукция равна:

$${B=B}_{\bot }=\frac{1}{2}B'=\frac{{\mu }_0}{\pi }\frac{I}{b}.$$

Ответ: $B=\frac{{\mu }_0}{\pi }\frac{I}{b}.$