Коэффициент самоиндукции (индуктивность) контура

Задание: Получите формулу, для вычисления коэффициента самоиндукции бесконечно длинного соленоида. Если даны n -- число витков соленоида на единицу длины, V- объем соленоида, $\mu -\ $магнитная проницаемость среды.

Решение:

Если по соленоиду течет ток I, то внутри соленоида возникает однородное магнитное поле, индукция (В) которого равна:

$$B={\mu }_0\mu nI\ \left(1.1\right),$$

где $n$ -- количество витков соленоида на единицу его длины ($n=\frac{N}{l}$), $N$ -- суммарное количество витков, $l$ -- длина соленоида.

В таком случае поток вектора магнитной индукции ($Ф'$) через любой виток соленоида равна:

$$Ф'=B\ \left(1.2\right),$$

где $S$ -- площадь витка соленоида, она же площадь соленоида. Тогда полный поток (Ф) через все витки равен c учетом (1.1) и (1.2):

$$Ф=NФ=nlBS={\mu }_0\mu n^2I\ Sl\left(1.3\right).$$

По определению коэффициент самоиндукции связан с магнитным потоком и силой тока выражением:

$$Ф=LI\left(1.4\right).$$

Сравниваем формулы (1.3) и (1.4), получаем:

$$L={\mu }_0\mu n^2V\ ,$$

где $V$ -- объем соленоида.

На практике индуктивность соленоида рассчитывают в соответствии с формулой:

$$L={k\mu }_0\mu n^2V\ ,$$

где $k$ -- коэффициент который зависит от отношения длины соленоида ($l$) к диаметру его витков (d). Так при $l/d=0,1\ k=0,2;;\ при\ l/d=10\ k\approx 1.$Ответ: $L={\mu }_0\mu n^2V.$

Задание: Получите формулу, для вычисления коэффициента самоиндукции двухпроводной линии. Если даны R -- радиусы проводов, d- расстояние между проводами, $\mu =1-\ $магнитная проницаемость среды.

Рис. 1

Решение:

Двухпроводная цепь -- это два длинных параллельных проводника, которые входят в цепь тока. Токи в проводах направлены в противоположные стороны.

Найдем магнитный поток через площадь, которая ограничена осями проводов для отрезка длины l.

Рассмотрим один провод. Магнитное поле такого тока имеет осевую симметрию с центром на оси провода. Силовые линии поля при этом окружности с центрами на оси симметрии. По модулю значение магнитной индукции во всех точках силовой линии одинаково. Возьмем в качестве кривой циркуляции $A$ силовую линию радиуса r, тогда по теореме о циркуляции запишем:

$$\oint\limits_A{\overrightarrow{B}dr}=B\cdot 2\pi r\ (2.1)$$

Для области внутри провода ($x

$$B\cdot 2\pi r={\mu }_0\frac{I}{\pi R^2}\pi r^2={\mu }_0\frac{I}{R^2}r^2\to B=\frac{{\mu }_0I}{2\pi R^2}r\left(2.2\right).$$

Для области вне провода ($x\ge R$) магнитная индукция поля равна:

$$B\cdot 2\pi r={\mu }_0I\to B=\frac{{\mu }_0I}{2\pi r}\left(2.3\right).$$

Соответственно поток ($Ф_{r\le R}$) через часть площади ($dS=lrdr$)внутри провода будет равен:

$$Ф_{r\le R}=\frac{{\mu }_0Il}{2\pi R^2}\int\limits^R_0{r}dr=\frac{{\mu }_0Il}{4\pi }\left(2.4\right).$$

Поток ($Ф_{r\ge R}$) через остальную часть площади (при $r\ge R$) имеет вид:

$$Ф_{r\ge R}=\frac{{\mu }_0Il}{2\pi }\int\limits^d_R{\frac{dr}{r}=\frac{{\mu }_0Il}{2\pi }}ln\frac{R}{d}\left(2.5\right).$$

Полный поток от одного провода можно найти как сумму потоков из выражений (2.4) и (2.5):

$$Ф=\frac{{\mu }_0Il}{4\pi }+\frac{{\mu }_0Il}{2\pi }ln\frac{R}{d}=\frac{{\mu }_0Il}{2\pi }\left(\frac{1}{2}+ln\frac{R}{d}\right)\left(2.6\right).$$

Так как токи в проводах имеют противоположное направление, значит направления полей одинаковы. Поток от двух проводов в два раза больше, чем от одного. Значит:

$$Ф'=2Ф.$$

Зная, что:

$$Ф'=IL\to L=\frac{Ф'}{I}\left(2.7\right),$$

получим, что:

$$L=2\cdot \frac{{\mu }_0l}{2\pi }\left(\frac{1}{2}+ln\frac{R}{d}\right)=\frac{{\mu }_0l}{\pi }\left(\frac{1}{2}+ln\frac{R}{d}\right).$$

Ответ: $L=\frac{{\mu }_0l}{\pi }\left(\frac{1}{2}+ln\frac{R}{d}\right).$