Оптические явления на границе раздела изотропных диэлектриков

Уравнение падающей, отраженной и преломленной волн, граничные условия

Поведение волны света на границе диэлектриков имеющих различную диэлектрическую проницаемость целиком определено граничными условиями для векторов волнового поля. В отсутствии свободных зарядов и током эти условия запишем как:

где индекс $\tau$ обозначает тангенциальную составляющую соответствующего вектора, индекс $n$ -- нормальную составляющую. Параметры падающей волны будем обозначать индексом ($pad$), отраженной ($otr$), преломленной ($pr$). Все параметры, относящиеся к среде, в которой распространяется падающая волна, будут иметь индекс $1$, к среде в которой распространяется преломленная волна -- индекс $2$. В таком случае напряженность электрического поля падающей волны запишем как:

напряженность электрического поля отраженной волны имеет вид:

для преломленной волны имеем:

при этом для волновых чисел имеем соотношения:

где $v_1=\frac{1}{\sqrt{\mu_1\mu_0\varepsilon_1\varepsilon_0}}$, $v_2=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_2{\mu }_0{\varepsilon }_2{\varepsilon }_0}}$ -- скорости распространения волн в одной и второй средах. При этом вектор индукции магнитного поля перпендикулярен вектору напряженности электрического поля и совершает колебания в той же фазе (в диэлектрике).

Частоты полей волны при отражении и преломлении света

Если в граничное условие для тангенциальных составляющих электрического поля подставить выражения из правых частей формул (2), то мы имеем:

В выражении (4) начало радиус -- вектора выбирается произвольно. Его можно представить как:

где ${\overrightarrow{r}}_n$ -- нормальная составляющая радиус-вектора к поверхности раздела диэлектриков, ${\overrightarrow{r}}_{\tau }$ -- тангенциальная составляющая. Из равенства:

где ${\overrightarrow{k}}_n$ -- нормальная составляющая волнового вектора, ${\overrightarrow{k}}_{\tau }$ -- тангенциальная составляющая, сделаем вывод о том, что при переходе от одной точки поверхности к другой произведение ${\overrightarrow{k}}_n{\overrightarrow{r}}_n$ является постоянным, все изменения происходят за счет ${\overrightarrow{k}}_{\tau }{\overrightarrow{r}}_{\tau }.$ В связи с этим начало отсчета радиус- векторов берут в точке плоскости раздела сред. Для упрощения записи будем обозначать радиус -- вектор без индекса $\tau$, не смотря на то, что он лежит в плоскости раздела сред. Равенство (4) тождественно при произвольных и независимых изменениях t и $\overrightarrow{r}$ только в случае, если:

Мы показали, что частота световой волны при отражении и преломлении не изменяется.

Волновые векторы падающей, отраженной и преломленной волн

Волновой вектор $\overrightarrow{k}$ характеризует направление, которое принято называть лучом. Положим, начало отсчета вектора $\overrightarrow{r}$ в плоскости раздела сред, причем так, что $\overrightarrow{r}\bot {\overrightarrow{k}}_{pad}$, то есть можно записать, что:

В таком случае из выражения (8) следует, что:

Это означает, что векторы ${\overrightarrow{k}}_{ot}\bot \overrightarrow{r},{\overrightarrow{k}}_{pr}\bot \overrightarrow{r}$, следовательно, волновые векторы падающей, отраженной и преломленной волны лежат в одной плоскости.

Плоскость, в которой располагаются вектор падающей волны, нормаль к поверхности раздела в точке падения луча называют плоскостью падения луча.

Законы отражения и преломления света на границе двух диэлектриков

Допустим, что начало декартовой системы координат находится в точке падения луча. Ось $Z$ направлена в сторону среды распространения преломлённого луча. Плоскость $XZ$ пусть совпадает с плоскостью, в которой лежат падающий, отраженный и преломленный лучи (рис.1). Единичный вектор $\overrightarrow{n}$ -- нормаль к поверхности раздела веществ, он направлен во вторую среду. Единичный вектор $\overrightarrow{\tau }$ находится в плоскости раздела сред. Углы ${\alpha }_{pad},{\alpha }_{otr},\ {\alpha }_{pr}$ начинают отсчет от нормали к поверхности раздела сред, называют их соответственно, угол падения, отражения и преломления.

Рисунок 1.

Используя рис.1 запишем:

Используя выражение (8), получим:

Учтем равенства (3), имеем:

Из формулы (13) следует, что $sin\ {\alpha }_{pad}=sin\ {\alpha }_{otr}$, что означает:

Выражение (14) -- закон отражения: Угол падения равен углу падения. И из (13) имеем закон преломления Снеллиуса:

где $n_{12}$- показатель преломления второй среды относительно первой. Так как показатели преломления одной и второй сред относительно вакуума равны: