Дисперсионная длина
Совокупность волн, которые различаются друг с другом, частотой в пределах малого интервала $\triangle \omega $ называют волновым пакетом (группой волн). Аналитически волновой пакет можно представить как:
где индекс $\omega $ у величин $А,\ k,\ \alpha $ показывает, что они относятся к разным частотам. В пределах пакета плоские волны усиливают друг друга, вне пакета происходит взаимное гашение волн. Для того чтобы сумму волн, которую описывает выражение (1) можно было считать пакетом должно выполняться условие: $\triangle \omega \ll {\omega }_0.$
Групповая скорость пакета волн, который задан уравнением (1) может быть определена как:
В том случае, если дисперсия групповой скорости имеет существенное значение, значит, параметры импульса переменны при распространении пакета волн. Основные черты изменения импульса света описывают низшими приближениями дисперсионной теории. Чаще всего ограничиваются вторым или третьим приближением. Дисперсионные свойства среды характеризуются с использованием волнового вектора ($\overrightarrow{k}$), модуль которого разложим в ряд и ограничимся вторым приближением:
где $k_2 >0$ означает, что дисперсия групповой скорости нормальная, $k_2
Допустим, что мы имеем дело с гауссовскими импульсами света (спектрально -- ограниченными). При этом комплексная амплитуда в диспергирующей среде может быть представлена как:
где $V^2_0\left(z\right)=1+{\left(\frac{z}{L_D}\right)}^2$, $L_D=\frac{{\tau }^2_0}{\left|k_2\right|}$, $\varphi \left(t,z\right)=\frac{{\left(\frac{z}{L_D}\right)}^2}{2V^2_0\left(z\right)k_2z}t^2-\frac{1}{2}arctg\frac{k_2z}{{\tau }^2_0}$. Величину $L_D$ называют длиной дисперсионного расплывания пакета волны (дисперсионной длиной), $t$ - время в бегущей системе координат.
${\rho }_0(t)$ -- действительная огибающая, ${\varphi }_0(t)$ -- фаза. Комплексная амплитуда $E_0(t)$ связана с огибающей и фазой как:
При этом длительность гауссовского импульса в среде с дисперсией увеличивается при увеличении расстояния в соответствии с формулой:
Надо отметить, что в линейной среде ширина спектра пакета волны не изменяется. При этом уменьшение роли в спектре модуляции огибающей, компенсирует возникновение частотной (фазовой) модуляции.
Изменение параметров импульса светового пучка в веществе зависит от дисперсии групповой скорости ($k_2$) и начальной длительности импульса (${\tau }_0$). Данные величины определяют дисперсионной расплывание пакета волн ($L_D$) (4). Зависимость $L_D$ от длины волны для воды и некоторых кристаллических веществ применяется в нелинейной оптике.
Дифракция и дисперсия
Формула (4) аналогична выражению, которое описывает дифракцию плоской волны на щели. Следует сделать вывод о том, что поведение гауссовского импульса в веществе с дисперсией эквивалентно дифракции двумерного пучка света. При этом параметр $L_D$ аналогичен дифракционной длине пучка света ($L_{dif}=k_0a^2_0$), здесь $a_0$ -- радиус пучка.
Существуют и отличия в поведении пучков волн и пакетов. Так, параметр дисперсии $k_2$ (его аналог $\frac{1}{k_0}$) может быть меньше нуля. Поэтому импульсы света могут иметь как отрицательную так и положительную скорость изменения частоты при распространении, что отличает их от пучков света подвергшихся дифракции и имеющих положительную кривизну фронта волны.
Рассматривая дисперсионное расплывание волнового пакета аналогично дифракции, выделяют ближнюю зону (при $z\ll L_D)$ и дальнюю зону (зону Фраунгофера) при ($z\gg L_D)$ импульса света. В ближней зоне имеем:
В дальней зоне получим:
Минимальная длительность, которой обладает импульс света на расстоянии $L$ от входа в вещество, может быть определена как:
Для коротких входных импульсов дисперсионное расплывание сильнее. Дисперсионное расплывание импульса растет, если его начальная форма становится ближе к прямоугольной.
Объясните, почему предметы макромира не расплываются за время своего существования?
Решение:
Пусть у нас имеется нерелятивистская частица с массой m. Будем считать, что заметное расплывание происходит, если за время ($\tau $) приращение фазы ($\delta \varphi $) составило величину порядка $\pi $. В таком случае время расплывания равно:
\[\tau =\frac{\pi }{\delta \varphi }=\frac{\pi }{{\left(\triangle k\right)}^2\left(\frac{d^2\omega }{dk^2}\right)}=\frac{{\left(\triangle x\right)}^2}{\left(\frac{d^2\omega }{dk^2}\right)}\left(1.1\right).\]Проведем оценку величины $\left(\frac{d^2\omega }{dk^2}\right)$ как:
\[\frac{d^2\omega }{dk^2}=\hbar \left(\frac{d^2(\hbar \omega )}{d{(\hbar k)}^2}\right)=\hbar \frac{d^2}{dp^2}=\frac{\hbar }{m}\left(1.2\right),\]где $\hbar $=$1,05\cdot {10}^{-34}Дж\cdot с.$
Подставляем результат, полученный в (1.2) в выражение (1.1) тогда время расплывания пакета равно:
\[\tau \approx \frac{{\left(\triangle x\right)}^2m}{\hbar }\left(1.3\right).\]Пусть масса тела составляет $m={10}^{-3}кг$, размер его $\triangle x=1\ $м, проведем оценку времени расплывания:
\[\tau \approx \frac{{\left(1\right)}^2{\cdot 10}^{-3}}{1,05\cdot {10}^{-34}}\approx {10}^{31}(с)\]Что превышает возраст Вселенной. Получается, что объекты макромира не успевают расплыться, пока существуют.
Каково время расплывания электрона, если рассматривать область равную его классическому радиусу ($r_e$)? Может ли электрон находится в ядре?
Решение:
Если рассматривать электрон (его массу обозначим $m_e$), то формула для времени расплывания пакета волны, полученная в примере 1 (1.3) приобретает вид:
\[{\tau }_e\approx {\left(\triangle x\right)}^2={\left(r_e\right)}^2\left(2.1\right),\]где расстояние измерено в сантиметрах, время в секундах. В таком случае вычислим ${\tau }_e$, получим:
\[{\tau }_e={10}^{-26}\left(с\right).\]Что означает: электрон почти мгновенно оказывается в ином месте. Классический $r_e$ почти совпадает с размером ядра, отсюда получаем, что электрон в ядре находиться не может.
Ответ: ${\tau }_e={10}^{-26}с.$ Не может.
