Закон распределения молекул по скоростям

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Закон распределения молекул по скоростям

Закон распределения молекул по скоростям описывает распределение частиц макроскопической системы при условии, что эта система находится в состоянии термодинамического равновесия, распределение является стационарным и внешние силы на систему не действуют. Данное распределение выполняется как для газов, так и жидкостей, если в них можно использовать законы классической механики.

Определить, каким образом распределены молекулы по скоростям, -- это значит ответить на вопрос: «сколько молекул имеет ту или иную скорость при заданной температуре в состоянии равновесия?» Для разъяснения вопроса введем понятие: «пространство скоростей» (рис.1). В таком пространстве на декартовых осях отложены не координаты, а проекции скоростей.

Рис. 1

В таком случае поставленный вопрос изменится на вопрос о том, как распределены молекулы в пространстве скоростей. Понятно, что молекулы распределены неравномерно.

Если в пространстве скоростей выделить параллелепипед объема $dw=dv_xdv_ydv_z$ , тогда количество молекул, которые попадут в него $dN_v.$ Предположим, что N- количество молекул газа, $f(v)$ - некоторая функция скорости. Тогда

Распределение Максвелла

Как было отмечено, газ находится в состоянии равновесия, все направления движения частиц равноправны, следовательно, распределение молекул в пространстве скоростей можно считать сферически симметричным (рис.2).

Рис. 2

Найдем число молекул в шаровом слое $dv$ :

Разделим (2) на число частиц (N) и найдем вероятность $\ (dW_v)$ того, что модуль скорости молекулы находится в пределах от $v\ до\ v+dv$ :

«Закон распределения молекул по скоростям» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

где $F\left(v\right)$ - функция распределения вероятности значения $v.\$ Эту функцию теоретически получил Д. Максвелл.

Таким образом, распределение молекул по скоростям (вернее их модулям) запишем как:

$dN_v=N4\pi {\left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)}^{\frac{3}{2}}exp\left(-\frac{m_0v^2}{2kT}\right)v^2dv\ \left(5\right),$

при этом $v=\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2}$ , $m_0$ - масса молекулы, k -- постоянная Больцмана.

Можно записать распределение Максвелла по проекциям скоростей:

$dN=Nf\left(v_x\right)f\left(v_y\right)f\left(v_z\right)dv_xdv_ydv_{z\ }\left(6\right),$

при этом

$f\left(v_i\right)={\left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)}^{\frac{1}{2}}exp\left(-\frac{m_0{v_i}^2}{2kT}\right)\ \left(i=x,y,z\right)\left(7\right),$

где $v_x,v_y,v_{z\ }$ - проекции скорости молекулы на оси координат.

Еще один из вариантов написания распределения Максвелла по модулям скоростей представлен в виде:

$dN=N\frac{4}{\sqrt{\pi }{v_{ver}}^3}{exp \left(-{\left[\frac{v}{v_{ver}}\right]}^2v^2\right)\ }dv\left(8\right),$

где $v_{ver}$ -- вероятнейшая скорость молекулы.

Рис. 3

На рисунке 3 изображена кривая закона распределения молекул по скоростям. Доля молекул газа, скорости которых лежат в интервале от $v\ до\ v+dv,$ пропорциональна заштрихованной площади dS под кривой.

Поскольку скорости всех молекул лежат в интервале от $0\ до+\infty$ , то выполняется равенство:

$\int\nolimits^{\infty }_0{f\left(v\right)dv}=1\ \left(9\right).$

Это так называемое условие нормировки функции распределения.

Таким образом, распределение Максвелла зависит от массы молекулы газа и его температуры. Давление и объем в распределение не входят.

Пример 1

Задание: Используя распределение Максвелла, найдите наиболее вероятную скорость молекул газа в равновесном состоянии газа при температуре T.

Решение:

За основу возьмем распределение молекул по модулям скоростей:

$dN_v=N4\pi {\left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)}^{\frac{3}{2}}exp\left(-\frac{m_0v^2}{2kT}\right)v^2dv\ \left(1.1\right).$

Наиболее вероятной скорости соответствует максимум функции, то продифференцируем выражение (1.1) по скорости и приравняем к нулю, получим:

$\frac{dN_v}{dv}=N4\pi {\left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)}^{\frac{3}{2}}\left[2v_{ver}exp\left(-\frac{m_0{v_{ver}}^2}{2kT}\right)-{v_{ver}}^2\frac{m_02v_{ver}}{2kT}exp\left(-\frac{m_0{v_{ver}}^2}{2kT}\right)\right]=0\to$

$2v_{ver}-{v_{ver}}^2\frac{m_02v_{ver}}{2kT}=0\to 1-{v_{ver}}^2\frac{m_0}{2kT}=0\to {v_{ver}}^2=\frac{2kT}{m_0}$

$v_{ver}=\sqrt{\frac{2kT}{m_0}}\ (1.2)$

Ответ: Наиболее вероятная скорость молекул газа $v_{ver}=\sqrt{\frac{2kT}{m_0}}.$

Пример 2

Задание: Пусть $Т_1

Решение:

Из формулы для наиболее вероятной скорости молекул газа, полученной в предыдущем примере:

$v_{ver}=\sqrt{\frac{2kT}{m_0}}\ (2.1)$

очевидно, что с увеличением температуры скорость растет, то есть максимум кривой смещается в сторону больших скоростей. Площадь под кривой распределения величина постоянная, следовательно, кривые изобразим следующим образом (рис.4).

Рис. 4

Пример 3

Задание: На рис. 5 представлен график функции распределения молекул по проекциям скорости $v_x$ . Сравнить числа молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от 0 до $v_{x1}$ и от $v_{x1}$ до $v_{x2}$ .

Рис. 5

Решение:

Как уже отмечалось в теоретической части, доля молекул газа, скорости которых лежат в интервале от $0\ до\ v_{x1},$ пропорциональна площади $S_1$ фигуры, которая ограничена кривой распределения, вертикальной осью (0 $\ \frac{1}{N}\frac{dN}{dv_x})$ и пунктирной вертикальной линией перпендикулярной оси проекций скоростей проходящей через точку $v_{x1}$ . Во втором случае доля молекул газа, скорости которых лежат в интервале от $v_{x1}\ до\ v_{x2},$ пропорциональна площади $S_2$ фигуры, которая ограничена кривой распределения, вертикальной прямой параллельной оси (0 $\ \frac{1}{N}\frac{dN}{dv_x}),\ проходящей\ через\ точку\ v_{x1}$ и пунктирной вертикальной линией перпендикулярной оси проекций скоростей, проходящей через точку $v_{x2}$ . Очевидно, что $S_1>S_2.\$ Следовательно, молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от 0 до $v_{x1}$ больше, чем молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от $v_{x1}$ до $v_{x2}$ .

Ответ: Молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от 0 до $v_{x1}$ больше, чем молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от $v_{x1}$ до $v_{x2}$ .