Молекулярная физика

Задание: В начальный момент времени t=0 газ температуры T занимает полупространство $x

Решение:

Запишем кинетическое уравнение с учетом того, столкновений молекул нет:

$\frac{\partial f}{\partial t}+\overrightarrow{v}\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{r}}=0$ (1.1)

общее решение уравнения (1.1) есть$:\ f=f\left(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{v}t,\ \overrightarrow{v}\right).\ $ Используем начальное условие, запишем: $f=f_0\left(v\right)\ при\ v_x>\frac{x}{t},\ f=0\ при\ v_x

где $f_0\left(v\right)$ распределение Максвелла молекул по скоростям ($dN_{v_xv_yv_z}=Nf\left(v\right)dv_x{dv}_y{dv}_z$).

Рис.1

Плотность газа:

$$N\left(t,x\right)=\int\nolimits^{\infty }{\int\nolimits_{-\infty }{\int\nolimits^{\infty }_{\frac{x}{t}}{f_0\left(v\right)m^3dv_xdv_ydv_z}=\frac{N_0}{2}}}\left[1-S(\frac{x}{t}\sqrt{\frac{m}{2T}})\right],$$

где $S\left(\varepsilon \right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int\nolimits^{\varepsilon }_0{e^{-y^2}dy}$, $N_0\ $- начальная плотность.

Необходимо отметить, что если пренебречь столкновениями молекул, то полученные формулы верны, лишь в области $\left|x\right|\ll l.$

Ответ: Распределение плотности молекул, если молекулы не сталкиваются между собой, определяется формулой: $N\left(t,x\right)=\int\nolimits^{\infty }{\int\nolimits_{-\infty }{\int\nolimits^{\infty }_{\frac{x}{t}}{f_0\left(v\right)m^3dv_xdv_ydv_z}=\frac{N_0}{2}}}\left[1-S(\frac{x}{t}\sqrt{\frac{m}{2T}})\right],$

где $S\left(\varepsilon \right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int\nolimits^{\varepsilon }_0{e^{-y^2}dy}$.

Задание: На рис. 1 представлен процесс в идеальном газе при постоянном объеме и переменной массе. Как изменяется масса газа в данном процессе?

Рис. 2

Решение:

Процесс, заданный на рис. 2 аналитически представим в виде:

$$p=b+aT\left(2.1\right),$$

где $b$, $a$ -- постоянные величины, $p$ -- давление, $T$ -- термодинамическая температура.

Процесс в задаче протекает при постоянном объеме, но назвать его изохорным мы не можем, так как масса является переменной. В качестве основания для решения используем уравнение состояния идеального газа (в виде уравнения Менделеева-Клайперона):

$$pV=\frac{m}{\mu }RT\left(2.2\right),$$

где V-- объем газа, $m$ -- масса газа, $\mu$-- молярная масса газа, $R$ -- универсальная газовая постоянная.

Выразим из (2.2) массу газа, получим:

$$m=\frac{pV\mu }{RT}\left(2.3\right).$$

Учтем, что $V=const$, $\mu =const$ в заданном процессе, тогда запишем:

$$m\sim \frac{p}{T}\left(2.4\right).$$

Подставим вместо давления уравнение (2.1), которое задает процесс, получим пропорциональность:

$$m\sim \frac{b+aT}{T}\sim \frac{b}{T}+a\left(2.5\right).$$

Исходя из пропорциональности (2.5) видим, что в ходе процесса, который представлен на рис.1, если температура газа увеличивается, масса газа уменьшается.

Ответ: В заданном процессе масса газа уменьшается.