Магнитное поле кругового тока

Французские ученые Ж. Био и Ф. Савар изучали магнитные поля, создаваемые постоянными токами разной формы. Результаты их работы обобщил известный математик и физик П. Лаплас.

Применение закона Био – Савара – Лапласа к вычислению магнитного поля кругового тока

Закон Био-Савара–Лапласа описывает порождение магнитного поля током $I$ на элементе проводника длиной $dl$ в некоторой точке пространства ($\mu$ - магнитная проницаемость вещества в котором локализовано поле):

$d\vec{B}=\frac{\mu_{0}\mu }{4\pi }\frac{I\left[ d\vec{l}\vec{r}\right]}{r^{3}}\left( 1 \right)$

где $d \vec l ⃗$ - вектор, длина которого равна длине элемента проводника $dl$, направленный по току; $\vec r$ – радиус-вектор, который проведен от элемента $dl$ в точку, в которой исследуется магнитное поле. Поскольку в правой части формулы (1) находится векторное произведение, очевидно, что индукция элементарного магнитного поля будет направлена перпендикулярно плоскости, в которой находятся векторы $\vec r$ и $\vec l$ и при этом является касательной к силовой линии поля.

Величину вектора $\vec{dB}$ из выражения (1) найдем как:

$dB=\frac{\mu_{0}\mu }{4\pi }\frac{Idl\sin \alpha }{r^{2}}\left( 2 \right)$.

где $\alpha$– угол между векторами $\vec r$ и $\vec l$ .

Конкретное направление $\vec{dB}$ находят по правилу буравчика (правилу правой руки):

Если правый винт вращать так, что его поступательное движение будет совпадать с направлением течения тока в избранном элементе, то вращение его головки укажет направление $\vec{dB}$.

Магнитные поля подчиняются принципу суперпозиции:

Суммарную магнитную индукцию поля, создаваемого несколькими источниками, находят как геометрическую сумму векторов магнитной индукции отдельных полей:

$\vec{B}=\sum\limits_{i=1}^N \vec{B}_{i} \left( 3 \right).$

Если распределение токов можно считать непрерывным, то принцип суперпозиции можно записать:

$\vec{B}=\int {d\vec{B}_{i}} \left( 4 \right).$

Вычисление магнитной индукции поля с применением закона Био-Савара-Лапласа довольно сложная процедура. Но при существовании определенной симметрии в распределении токов, используя, рассмотренный нами закон и принцип суперпозиции, рассчитать конкретные поля просто. В любом случае следует придерживаться следующей схемы действий:

1. Выделить на проводнике с током элементарный отрезок $dl$.
2. Записать для исследуемой точки поля закон Био – Савара – Лапласа.
3. Определить направление элементарного поля $\vec{dB}$ в избранной точке.
4. Воспользоваться принципом суперпозиции для магнитных полей (учесть, что суммируются векторы).

Магнитное поле кругового тока в его центре

Рисунок 1. Магнитное поле кругового тока в его центре. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим круговой проводник, по которому течет постоянный ток $I$ (рис.1). Выделим на этом проводнике элемент $dl$, который можно считать прямолинейным. Если перейти к другому элементу этого же тока, затем к третьему и так далее, применить правило правого винта, то очевидно, что все магнитные поля, созданные этими элементами в центре, направлены вдоль одной прямой, перпендикуляру к плоскости кольца. Это означает, применяя принцип суперпозиции, мы векторное сложение заменим алгебраическим.

Запишем закон Био-Савара-Лапласа для модуля вектора индукции поля, создаваемого элементом d$l_1$:

$dB=\frac{\mu_{0}\mu }{4\pi }\frac{Idl_{1}\sin \alpha }{r^{2}}\left( 5\right).$

Из рис.1 мы видим:

1. что расстояние от элементарного тока до центра витка равно его радиусу ($R$) и будет одинаковым для всех элементов на этом витке,
2. элемент $dl$ (как и все остальные элементы) будут нормальны к радиус-вектору $\vec r$.

Учитывая сказанное выражение (5) представим в виде:

$dB=\frac{\mu_{0}\mu }{4\pi }\frac{Idl_{1}}{R^{2}}\left( 6 \right)$.

Обезличивая витки с током, положим далее $dl_1=dl$.

Поскольку наш ток является непрерывным, то для нахождения полного поля в его центре, мы проинтегрируем (6), имеем:

$B=\oint\limits_L {dB=} \frac{\mu_{0}\mu }{4\pi}\frac{I}{R^{2}}\oint\limits_L {dl} =\frac{\mu_{0}\mu }{4\pi}\frac{I}{R^{2}}2\pi R\to$

$B=\mu_{0}\mu \frac{I}{2R}\left( 7 \right)$.

Индукция магнитного поля кругового тока на его оси

Найдем индукцию магнитного поля на оси кругового тока, если ток, текущий по нему равен $I$, радиус витка - $R$ (рис.2).

Рисунок 2. Индукция магнитного поля кругового тока на его оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Как основу для выполнения поставленной задачи возьмем закон Био-Савара-Лапласа (1), где из рис.2 мы видим, что:

• $\vec{r}=\vec{R}+\vec{h}$,

• $d\vec{l}\times \vec{r}=d\vec{l}\times \vec{R}+d\vec{l}\times \vec{h}(9).$

Используя принцип суперпозиции закон (1) для нашего тока и формулы (8-9) запишем:

$\vec{B}=\oint\limits_L {dB=}$$\frac{\mu \mu_{0}}{4\pi }I\oint\limits_L \frac{d\vec{l}\times\vec{r}}{r^{3}}$ $=\frac{\mu \mu_{0}}{4\pi }\frac{I}{r^{3}}\left( \oint\limits_L{d\vec{l}\times \vec{R}+} \oint\limits_L {d\vec{l}\times \vec{h}}\right)\left( 10 \right).$

В выражении (10) при записи интеграла, мы учли, что величина вектора $\vec{r}$ не изменяется. Кроме этого вектор $\vec h$, определяющий положение точки, в которой мы ищем поле, не изменяется при движении по нашему контуру, поэтому:

$\oint\limits_L {d\vec{l}\times \vec{h}} =(\oint\limits_L {d\vec{l})\times\vec{h}} =0\, \left( 11 \right),$

так как ( $\oint\limits_L {d\vec{l})=0.}$

Вычислим интеграл: $\oint\limits_L {d\vec{l}\times \vec{R}.}$ Введем единичный вектор ($\vec n$), нормальный к плоскости витка с током.

$\oint\limits_L {d\vec{l}\times \vec{R}=\oint\limits_L {\vec{n}Rdl=\vec{n}R}} \oint\limits_L {dl=\vec{n}R} 2\pi R=2\pi R^{2}\vec{n}\left( 12 \right)$.

Подставляем результаты интегрирования из (12) в (10), имеем:

$\vec{B}=\frac{\mu \mu_{0}}{4\pi }\frac{I}{r^{3}}2\pi R^{2}\vec{n}=\frac{\mu\mu_{0}I}{2}\frac{R^{2}}{\left( R^{2}+h^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\vec{n}\left( 13 \right)$

где при записи окончательного результата мы учли, что:

$r^{3}=\left( R^{2}+h^{2} \right)^{\frac{3}{2}}$.

Кольца Гельмгольца

Кольцами Гельмгольца считают пару проводников в виде колец одного радиуса, расположенных в параллельных плоскостях (рис.3) на одной оси. Расстояние между плоскостями колец равно их радиусу.

Рисунок 3. Кольца Гельмгольца. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим магнитное поле на оси этих колец.

Декартову систему координат разместим так, что ее начало совпадает с центром нижнего кольца с током. Ось Z нашей системы будет направлена по оси колец (рис.3).

Запишем индукцию магнитного поля в точке с координатой $z$ на оси колец. Используем формулу (13):

$B_{z}=\frac{\mu \mu_{0}I}{2}R^{2}\left[ \frac{1}{\left( R^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}+\frac{1}{\left[ \left( z-d \right)^{2}+R^{2}\right]^{\frac{3}{2}}} \right]\left( 14\right)$.

Исследуем полученное поле. Считается, что магнитное поле на оси колец Гельмгольца на посередине между ними является однородным.

Неоднородность в первом приближении характеризуют первой производной:

$\frac{\partial B_{z}}{\partial z}=\frac{3\mu \mu_{0}I}{2}R^{2}\left[\frac{-z}{\left( R^{2}+z^{2} \right)^{\frac{5}{2}}}+\frac{z-d}{\left[ \left(z-d \right)^{2}+R^{2} \right]^{\frac{5}{2}}} \right]\left( 15 \right)$.

Если $z=\frac{d}{2}\quad$ , подставим в (15), имеем:

$\frac{\partial B_{z}}{\partial z}=0.$

Найдем $\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial z^{2}}:$

$\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial z^{2}}=\frac{3\mu \mu_{0}I}{2}R^{2}\left( \frac{5z^{2}}{\left( R^{2}+z^{2}\right)^{\frac{7}{2}}}-\frac{1}{\left( R^{2}+z^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}+\frac{5\left( z-d \right)^{2}}{\left[ \left( z-d \right)^{2}+R^{2} \right]^{\frac{7}{2}}}-\frac{1}{\left[ \left( z-d\right)^{2}+R^{2} \right]^{\frac{5}{2}}} \right)\left( 16 \right)$

По условию для колец Гельмгольца, имеем: $d=R.$

На середине их общей оси ($z=\frac{d}{2})$, получаем:

$\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial z^{2}}=0\, \left( 17 \right)$.

Равенство нулю второй производной от $B_z$ по координате $z$, показывает, что в на середине оси колец магнитное поле является однородным с высокой степенью точности.