Топология – это наука, изучающая непрерывные отображения. С точки зрения типологии два пространства могут быть преобразованы одно в другое без склеиваний и разрывов.
Топологическая эквивалентность - это взаимно однозначное и при этом непрерывное в обе стороны соответствие.
Для того чтобы имело смысл понятие непрерывного отображения, достаточно, чтобы было определено расстояние между точками пространства. Кроме того, достаточно, если определено, какие именно точки пространства близки друг к другу (точнее, определено понятие предела или окрестности). В подобном случае говориться, что в пространстве введена топология.
В физике приходится постоянно сталкиваться с топологическими пространствами. В первую очередь, фазовое пространство и пространство конфигураций в классической механике, а также множество равновесных состояний отвечают подобной температуре и естественно в статистической физике наделяются топологией. Поля в квантовой теории возникают также как топологические бесконечномерные пространства. Все это открывает ряд возможностей для применения в физике топологии.
То, что интересует физика в первую очередь, - это количественное описание физических явлений – что никоим образом не сводится к топологии. При этом качественные особенности явлений могут зачастую быть понятны при помощи топологических соображений. Если рассматриваемая физическая система и связанное с ней топологическое пространство напрямую зависят от параметра, то при ряде значений параметра скачком меняется все топология. Данное значение параметра напрямую отвечают качественному изменению в общем поведении системы.
Стоит отметить, что в физике интересна не только топология возникающих там пространств. Намного важнее свойства для непрерывных отображений пространств. Возникает ряд отображений топологических пространств в физике, в основном как поля.
Квантовые теории поля и топология
Топологические квантовые теории поля – это квантово полевые или квантовомеханические теории, все корреляционные функции в которых не зависят от метрики и выбора координат как в пространстве-времени, а также и в других пространствах, участвующих в определении теории.
Все это помогает применять корреляционные функции для характеристик топологии (топологические инварианты) указанных пространств. Наиболее удобный способ исследования и задания широкого класса топологической квантовой теории поля – это функциональный интеграл с классическим действием, не зависящий от метрик и координат. Нужным требованием к подобной теории является инвариантность меры в функциональном интеграле, при отсутствии квантовых аномалий.
Исторический пример топологической квантовой теории поля – это разработанная теория антисимметричных тензорных полей, которая рассмотрена А. Шварцем (1978). При этом идея топологических квантовых теорий поля сформулирована Э. Виттеном.
Наиболее важные примеры топологических квантовых теорий поля:
- топологическая теории Черна — Саймонса;
- топологическая теории Янга - Миллса.
В теории последнего типа в четно мерном пространстве-времени в качестве действия используются топологические заряды.
Теория Черна — Саймонса
Теория Черна — Саймонса — это топологическая трехмерная квантовая теория поля наподобие Шварца, которая предложена Эдвардом Виттеном. Она названа в честь геометров Джеймса Саймонса и Чжень Синшэня (Черна). Данная теория получила подобное название, потому что все ее действия полностью пропорциональны формуле Черна — Саймонса.
В физике для конденсированного состояния данной теории был описан топологический порядок в состояниях квантового дробного эффекта Холла. Учитывая точки зрения математики теория Черна — Саймонса уже интересна тем, что помогает вычислять инварианты узлов, наподобие Полина Джонса.
Стоит отметить, что теория Черна — Саймонса определяется общим выбором простой группы Ли G, которая называется калибровочной группой теории, а также числом. Она входит как общий множитель в действие и при этом называется уровнем теории. Зависит действие теории от выбора калибровки, где производящая функция квантовой теории поля определена при целочисленном значении уровня.
Стоит открытым вопрос о возможности построения топологической квантовой теории поля общего вида, в которых зависимость от метрических характеристик имеется в классическом приближении, но полностью исчезает после полного вычисления функционального интеграла. Например, подобного рода - квантовая теория гравитации. Огромный прогресс в данной области достигнут пока в изучении моделей двухмерной квантовой гравитации, которые тесно связаны с теорией струн.
Определение и виды симметрий в квантовой теории
Симметриями называются преобразования полевых функций и координат, относительно которых инвариантны уравнения движения, а значит инвариантно действие.
Преобразования образуют группу. Симметрии носят название - глобальные, если подобные преобразования не зависят от четырех координат. В ином случае говорят о локальных симметриях. При этом симметрии могут быть непрерывными или дискретными. В последнем варианте группа преобразований будет топологической или непрерывной, то есть, задана в группе, касательно которой групповые операции полностью непрерывны. Многие элементы подобных групп можно будет представить, как дифференцируемые (аналитические или голоморфные) функции конечного числа параметров. Общие группы преобразований рассматриваются обычно в некотором представлении — как общий элемент групп, которому соответствуют матричные или операторные функции параметров.
Очень важны такие виды преобразования:
- Четность — это изменение всех знаков пространственных компонентов на противоположный.
- Зарядовое сопряжение — это замена полевых функций на сопряженные.
- Обращение времени — это изменение знака временного компонента.
