Методы квантовой механики

Квантовая механика представляет раздел теоретической физики, который описывает физические явления, где действие равнозначно по величине постоянной Планка. Законы квантовой механики существенно отличаются от классической. В квантовой механике применяются следующие основные методы:

• приближенные (квазиклассическое приближение и теория возмущений);
• резонансные (метод резонанса).

Метод квазиклассического приближения

Название метод получил, благодаря физикам Г. Вентцелю, Х. Крамерсу и Л. Бриллюэну, предложившим его в 1926 году. В 1923 г. Г. Джеффри развивает общий метод приближенного решения для линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка. Он включил в себя и решение уравнения Шредингера.

Одномерное стационарное уравнение Шредингера:

$-\frac {\bar h^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \Psi (x)+V(x) \Psi (x)=E \Psi (x)$

Также можно записать в виде:

$\frac{d^2}{dx^2}\Psi (x)=\frac {2m}{\bar{h}^2}\left(V(x)-E\right)\Psi (x)$

Если представить волновую функцию как экспоненциальную другой неизвестной функции $Φ$:

$\Psi (x)=e^\Phi (x)$

Тогда $Ф$ должна будет удовлетворять следующему уравнению:

$\Phi’(x)+\left[\Phi’(x)\right]^2=\frac{2m}{\bar{h}^2}\left(V(x)-E\right)$

здесь $Ф'$ означает производную от $Ф$ по $x$. Разделим $\Phi '(x)$ на действительную часть и мнимую при вводе функций $A$ и $B$:

$\Phi ‘(x)=A(x)+iB(x)$

Для решения этих уравнений нам нужно рассмотреть квазиклассическое приближение. Это означает разложение каждой из функций как ряд по степеням $\bar{h}$. Уравнения показывают, что степенной ряд должен начинаться с $\bar{h}^{-1}$ для удовлетворения реальной части уравнения. Но поскольку нам требуется хороший классический предел, то разложение нужно начинать с максимально высокой степени постоянной Планка. Эта степень должна быть настолько высокой, насколько это действительно возможно.

Таким образом, уравнения с точностью до первого порядка разложения запишутся в виде

$A_0(x)^2-B_0(x)^2=2m\left(V(x)-E\right)$

$A_0(x)B_0(x)=0$

Метод теории возмущений

Теория возмущений представляет метод приближенного решения задач в теоретической физике. Его применение актуально только в случае, если в задаче будет присутствовать малый параметр. При этом в пренебрежении данным параметром задача будет иметь точное решение.

Рассчитанные на основе теории возмущений физические величины, будут иметь вид ряда: $A=A^(0)+\varepsilon A^(1)+\varepsilon^2A^(2)+...$

где $A^(0)$ будет решением невозмущенной задачи; $\varepsilon$ это малый параметр.

Коэффициенты $A^(n)$ мы находим посредством последовательных приближений. Другими словами, $A^(n)$ будет выражаться через $A^(0), A^(n-1)$. Использование метода теории возмущений актуально для:

• небесной механики;
• квантовой теории поля;
• квантовой механики.

В квантовой механике метод теории возмущений применяется тогда, когда гамильтониан системы возможно представить в таком виде:

$H=H^(0)+V$

где $H^(0)$ будет не возмущенным гамильтонианом (при этом решение соответствующего уравнения Шрёдингера точно известно), а $V$ - добавкой (возмущением).

Метод резонанса

Автором непосредственной идеи резонанса выступил Вернер Гейзенберг, который предложил ввести это понятие в квантовую механику. Об этом физик заявил в 1926 году во время обсуждения квантовых состояний атома гелия. Ученый предложил сравнение структуры атома гелия и классической системы резонирующего гармонического осциллятора.

Модель Гейзенберга решил применить Лайнус Полинг в 1928 году. Он использовал ее с целью описания электронной структуры молекул. Полингу, задействуя метод валентных схем, удалось успешно объяснить геометрические, а также физико-химические свойства целого ряда молекул. Для этого физик применял механизм делокализации электронной плотности $\pi$ связей.

Аналогичные идеи с целью описания самой электронной структуры ароматических соединений предложил Кристофер Ингольд. В период с 1926 по 1934 гг. ученый развивает альтернативную теорию электронных смещений. Она получила название теории мезомерии. Ее принципы базировались на объяснении структуры молекул в сложных органических соединениях, которое не укладывалось в стандартные валентные представления.

Сам термин «мезомеризм», предложенный К. Ингольдом для обозначения такого явления, как делокализация электронной плотности, в 1938 году, применяется преимущественно во французской и немецкой научной литературе, в русской и английской преобладает «резонанс».

Представления ученого о мезомерном эффекте стали неотъемлемой частью теории резонанса. Благодаря работам немецкого ученого Фрица Арндта, были введены обозначения мезомерных структур с помощью двунаправленных стрелок, впоследствии ставшие общепринятыми.