Энергия в квантовой механике

При проведении серии измерений для одного и того же процесса значения измеряемой энергии будут флуктуировать. Наряду с тем, среднее значение всегда определяется на основании закона сохранения энергии. Это объясняет причину сохранения средней энергии в квантовой механике.

Энергия $E$ свободной частицы в квантовой механике связана с круговой частотой $\omega$ волны де Бройля:

$E=\bar{h} \omega$

В данной формуле $\bar{h}$ – это постоянная Планка.

Вышеприведенное уравнение представляет собой математическое выражение принципа корпускулярно-волнового дуализма частиц и волн для случая энергии.

Гамильтониан в квантовой механике

Гамильтониан $H$ в квантовой механике является оператором полной энергии. Его спектр представляет множество возможных значений в процессе измерения полной энергии системы. Спектр может быть двух видов:

• дискретным;
• непрерывным;
• смешанным (состоящим из непрерывной и дискретной частей, например, для кулоновского потенциала).

Гамильтониан может генерировать временную эволюцию квантовых состояний. Зная состояние на начальный момент времени ($t=0$), мы в любой последующий момент можем решить уравнение Шредингера. При этом, если величина $H$ не зависима от времени, то мы получаем оператор экспоненты через степенной ряд:

$U=e^ \frac{-iHt}{\bar{h}}$

Это оператор временной эволюции замкнутой квантовой системы. Если гамильтониан не зависим от времени, ${U(t)}$ создает однопараметрическую группу (принцип детального равновесия).

Энергия квантовой механики в координатном представлении

Если частица не имеет потенциальную энергию, то тогда гамильтониан будет самым простым.

$H=-\frac {\bar h^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}$ - для одного измерения;

$H=-\frac {\bar h^2}{2m} \nabla^2=- \frac {\bar h^2}{2m} \Delta$ - для трех измерений.

Вышеприведенные формулы касаются свободной частицы. Также в отношении энергии существует такое понятие, как потенциальная яма.

Для частицы в постоянном потенциале $V=V_0$ (когда отсутствует зависимость от времени и координаты) в одном измерении гамильтониан будет таким:

$H=-\frac {\bar{h}^2}{2m} \frac {\partial^2}{\partial x^2}+V_0$

В трёх измерениях:

$H=-\frac {\bar{h}^2}{2m}\nabla^2+V_0$

Квантовые операторы энергии

Гамильтониан (в отличие от лагранжиана) не дает релятивистски-инвариантное описание системы. В различных инерциальных системах отсчёта энергия будет разной. При этом, в отношении релятивистских систем такую инвариантность можно доказать.

Энергия частицы в классической механике получается из кинетической $T$ и потенциальной $V$. Кинетическая энергия равна:

$T=\frac{mv^2}{2}=\frac{p^2}{2m}$

Где $p=mv$ — это импульс.

Квантово-механический вариант получается, если числовое значение импульса заменить на оператор:

$T=\frac{p^2}{2m}$

Если рассматривать формулу самого оператора импульса в квантово-механическом случае, то она будет такой:

$p=−I \frac{d}{dx}$

Мы получили, таким образом, оператор Гамильтона в координатном базисе:

$H=\frac{−1}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)$

Квадратичный потенциал $V=kx^2$, который соответствует линейной силе в классическом случае (например, пружина или маятник) будет называться гармоническим осциллятором.

В отличие от классической версии, квантовый гармонический осциллятор не может совершать колебания. Другими словами, квантовый гармонический осциллятор не может иметь нулевую энергию.

Для каждого собственного значения (энергетического уровня) будет соответствовать собственный вектор. Он представляет собой волновую функцию, в которую будет переходить вектор состояния после того, как произведутся измерения собственного значения (энергии).