Ньютон описал свободное перемещение как движение по прямой линии, поскольку, прямая является самой простой линией геометрии Эвклида.
Исключительность существования геометрии Эвклида продержалась в научном мире около двух тысяч лет. Только в XIX веке двое ученых не связанных друг с другом открыли неэвклидову геометрию, это были:
- Н.И. Лобачевский,
- Я. Больян.
Классическая физика основана на идеях эвклидовой геометрии.
Неэвклидова геометрия
Рассмотрим пару точек, принадлежащих поверхности шара. Эти точки невозможно соединить прямой, которая бы полностью принадлежала сферической поверхности, все линии, которыми их можно соединить являются кривыми. Но в системе таких линий можно выделить те, которые обладают длиной меньшей, чем все остальные. Так вводят аналог прямых на плоскости, на кривых поверхностях – это геодезических линий (или просто геодезические).
Условие, которым отвечают геодезические: единственное самое меньшее расстояние между парой близких точек - это отрезок между этими точками.
На сферической поверхности геодезические – это окружности.
Рассмотрим на искривленной поверхности точку, которая имеет координаты $x,y,$ и расположенную к ней близко точку с координатами: $x+dx$, $y+dy$.
Слова «расположенную близко» означают, что искривлением поверхности во второй точке можно пренебречь в сравнении с искривлением в первой точке.
Расстояния между точками в этом случае можно определить, как:
$dl^2=g_{11}dx^2+2g_{12}dxdy+g_{22}dy^2$(1),
где $ g_{11}$, $ g_{12}$,$ g_{22}$ – независимые функции координат. Значение данных функций берут или в первой, или во второй точке, так как они находятся на малом расстоянии, это неважно в какой точке конкретно.
Выражение (1) является обобщением теоремы Пифагора.
Если посмотреть на поверхность снаружи, то можно увидеть, что она искривлена. Возникает вопрос: как определить наличие кривизны, если находишься внутри этой поверхности.
Для ответа на поставленный вопрос следует провести измерения расстояния между близкими точками и найти связь между полученными расстояниями и разностями координат данных точек. Так получают метрический тензор. При наличии метрического тензора решается любая геометрическая задача на поверхности, например, определение какова геометрия поверхности.
Еще Б. Риман отмечал, что расстояние между парой близких точек определяет неэвклидовость геометрии пространства.
В геометрии Римана расстояние между двумя точками определено соотношением:
$dl^2=\sum^3_{\alpha =1}{\sum^3_{\beta =1}{g_{\alpha \beta }}}dx_{\alpha }dx_{\beta }$(2),
где $g_{\alpha, \beta}$ - метрический тензор пространства.
Законами физики являются законы, описывающие движение. При описании движения совместно с пространством следует рассматривать время.
Любое физическое явление занимает некоторую область в пространстве и занимает, какой-то промежуток времени.
В геометрии Эвклида расстояние между любыми двумя точками является инвариантом. Оно выражается одинаково во всех инерциальных системах отсчета.
В геометрии Минковского, например, инвариантом служит выражение:
$(c \Delta s)^2= (c \Delta t)^2-(\Delta l)^2 (3)$,
где $\Delta l$ удовлетворяет теореме Пифагора; $c$ - скорость света.
Выражение (3) является аналогом расстояния между двумя точками. В инвариант этой геометрии входят наряду с характеристиками пространства, промежутки времени.
Событием называют явление, которое реализуется в пространственной точке в некоторый момент времени, поэтому пространственной и временной протяженностью события обычно пренебрегают.
Рассмотрим движущееся тело. Движение будем считать одномерным (переменной является одна координата). С этим телом свяжем систему отсчета, время будем отсчитывать по имеющимся на теле часам. Тогда событию будет отвечать тройка пространственных координат и момент времени (координаты событий).
Одномерное перемещение тела можно отобразить при помощи линии (мировой линии) на графике. Мировая линия одномерного перемещения в общем случае – это кривая (рис.1 $a$). Для недвижного тела относительно начала координат мировая линия будет прямой, параллельной оси времен (рис.1). Мировая линия отражает историю перемещения тела.
Рисунок 1. Мировая линия. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рассмотрим наиболее простой вид движения – свободное движение, которое происходит в отсутствии (или почти отсутствии) внешних сил. В динамике Ньютона утверждалось, что свободное движение тела происходит вдоль прямой линии. В общей теории относительности (ОТО) пространственно-временная геометрия построена так, что геодезические линии подобны мировым линиям свободного движения.
В ОТО свойства свободного движения вызваны пространственно- временными свойствами реального мира. Эту теорию можно представить как теорию расхождения мировых линий свободного движения. В локальных процессах расхождением мировых линий пренебрегают в виду малости.
Тензор кривизны
Расхождение мировых линий свободного движения изменяется в пространстве, это ведет к усложнению математических вычислений в ОТО.
Рассмотрим пару близких мировых линий. Для описания хода каждой из этих линий в определенной локации следует описывать тремя величинами. Для двух линий - 6 параметров.
Относительное расположение этих линий характеризуется при помощи вектора – еще 4 величины. Для относительно ускорения линий необходимо применить еще четыре величины. Для того чтобы описать расхождение в рассматриваемом месте по отношению к направлениям осей координат добавим еще шесть величин. Получили, что нам необходимы 20 величин. Данные величины можно объединить в некоторой сложной величине, которую называют тензором кривизны Римана.
Самое главное, что следует сказать о тензоре Римана:
- При равенстве нулю данного тензора отсутствует расхождение мировых линий свободного движения.
- При его равенстве нулю в области пространства на некотором отрезке времени отсутствуют явления тяготения. Для этой области пространства на данном отрезке времени можно использовать систему координат, в которой выражение интервала имеет вид:
$(c ds)^2=\sum^3_{j =1}{\sum^3_{j =1}{g_{j,k }}}dx_{j }dx_{k }$(4),
Тензор Римана дает определение расхождения мировых линий свободного движения, таким образом, он описывает все, что ОТО назвала тяготением. Говорят, что если в классической механике поле тяготения описывает Ньютоновской потенциал тяготения, то в ОТО возникает «геометрическое поле» расхождения мировых линий свободного движения, которое описывается при помощи тензора Римана.
