Граничные условия для векторов поляризации

В любом случае граничные условия позволяют определить изменения векторов поля при переходе через границу. Их получают с помощью уравнений поля.

Уравнения поля

Если два разных диэлектрика находятся в электрическом поле, то на их границе возникают поверхностные заряды. Это понятно, при одинаковой напряженности электрического поля поляризованность разных диэлектриков различна. Значит, граница диэлектриков пересекается разным количеством поляризационных зарядов со стороны каждого диэлектрика. В конечном итоге около границы собирается некоторый связанный заряд, который является поверхностным зарядом, его поверхностную плотность будем обозначать ${\sigma }_{sv}$. Так, при переходе через границу двух различных диэлектриков можно записать следующее выражение:

$$-\left(P_{2n}-P_{1n}\right)={\sigma }_{sv}\left(1\right),$$

где $P_{2n}$-нормальная составляющая вектора поляризации диэлектрика с номером 2, $P_{1n}$ - нормальная составляющая вектора поляризации диэлектрика с номером 1. Граничное условие для вектора поляризации (1) можно записать несколько иначе:

$$-\overrightarrow{n_2}\left(\overrightarrow{P_2}-\overrightarrow{P_1}\right)={\sigma }_{sv}\left(2\right),$$

$\overrightarrow{n_2}$-единичный вектор нормали, который направлен из первой во вторую среду. $\overrightarrow{P_2},\overrightarrow{P_1}$. Формулы (1,2) могут применяться и для границы диэлектрик -- вакуум (для вакуума поляризованность полагается равной нулю), то есть $P_{2n}=0$, получим в таком случае:

$$P_n={\sigma }_{sv}\ \left(3\right),$$

где $P_n$ -- перпендикулярная составляющая вектора поляризации на границе диэлектрика с вакуумом.

При переходе через границу раздела двух диэлектриков для нормальной составляющей вектора $\overrightarrow{D}$ можно записать:

$$D_{2n}-D_{1n}=\sigma \ \left(4\right).$$

или

$$\overrightarrow{n_2}\left(\overrightarrow{D_2}-\overrightarrow{D_1}\right)=\sigma \ \left(5\right),$$

где $\sigma$ -- поверхностная плотность распределения свободных зарядов на границе диэлектриков. $\overrightarrow{n_2}$ -- нормаль, которая проведена в сторону второй среды. Если свободных зарядов на границе раздела двух диэлектриков нет, то:

$$D_{2n}=D_{1n}\left(6\right).$$

Для тангенциальной составляющей:

$$D_{2\tau }=\frac{{\varepsilon }_2}{{\varepsilon }_1}D_{1\tau }\left(7\right),$$

где ${\varepsilon }_2$, ${\varepsilon }_1$ -- диэлектрические проницаемости диэлектриков.

Нормальная же составляющая напряженности электрического поля на границе двух диэлектриков терпит разрыв (силовые линии преломляются). Если около границы нет свободных зарядов, то можно записать:

$${\varepsilon }_1E_{1n}={\varepsilon }_2E_{2n}\left(8\right).$$

В том случае если ${\varepsilon }_2>{\varepsilon }_1$, следовательно, $E_{2n}

Граничные условия для тангенциальной составляющей вектора напряженности ($E_{\tau }$) при переходе из одного диэлектрика в другой имеют вид:

$$E_{2\tau }-E_{1\tau }=0\ \to E_{2\tau }=E_{1\tau }\left(9\right).$$

Граничные условия выполняются для полей изменяющихся во времени. Эти условия справедливы и для границы с вакуумом. Надо только помнить, что диэлектрическая проницаемость вакуума полагается равна единице.