Стационарные случайные процессы
Случайный процесс – это совокупность случайных величин, которые индексированы некоторым параметром (в большинстве случаев координатами или временем).
Корреляционные и вероятностные характеристики случайных процессов могут быть определены при помощи моментов времени (одного или нескольких). Есть класс случайных процессов, у которого нет зависимости характеристик от времени и при определенных условиях некоторые вероятностные характеристики могут быть определены при помощи усреднения по всему ансамблю реализаций. В прочих случаях используется усреднение по времени с применением к-реализации Хк(t) случайного процесса Х(1). Отсутствие или наличие зависимости от времени или же номера реализации вероятностных характеристик определяет фундаментальные свойства, к которым относятся:
- стационарность,
- эргодичность.
Стационарный случайный процесс – это случайный процесс, у которого статистические характеристики никак не изменяются во времени.
Стационарными случайными процессами, например, являются: тепловой шум стабилитрона или транзистора, внутренние шумы приемников сигналов и т.п. В теории, условие стационарности, как правило, ограничивается требованиями независимости одномерной или двумерной плотностей вероятности от времени. Выполнение данного условия предоставляет возможность считать, что средние значение и квадрат, а также дисперсия случайного процесса никак не зависят от времени, а функция корреляции зависит только от интервала между ними. Случайные процессы, которые удовлетворяют условиям стационарности на ограниченных интервалах называются квазистационарными.
Если учитывать вышеупомянутые ограничения в процессе записи статистических параметров стационарного случайного процесса, могут быть опущены обозначения фиксированных моментов времени. В данном случае дисперсия и математическое ожидание, не зависят от времени, то есть формулы принимают следующий вид.
Рисунок 1. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Не вызывает трудности показать, что корреляционная функция случайного стационарного процесса зависит только от разности т = t2 - tv (интервал между средним значением, средним квадратом и дисперсией случайного процесса), следовательно Rx(tv,t2) = Rv. Исходя из определения стационарности для случайного процесса следует, что корреляционная функция является четной относительно т = 0 : Rv(т) = Rx(-т).
Эргодические случайные процессы
Стационарность не единственное свойство, которое позволяет исследовать случайные процессы. Еще одним таким свойством является эргодичность случайного процесса. Эргодичность проявляется в том, что со временем процесс становится однородным.
Эргодическое свойство случайного процесса заключается в том, что продолжительная реализация является «представителем» всех реализаций случайного процесса, по которой можно составить представление о процессе в целом. По одной реализации, но при условии ее достаточной продолжительности может быть оценено математическое ожидание эргодического случайного процесса. Таким образом для эргодического стационарного процесса среднее значение по любому сечению можно заменить на среднее значение по одной продолжительной реализации. Достаточным условием для эргодичности случайного процесса является следующее.
Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Таким образом, чтобы увеличить сдвиг между сечениями нужно, чтобы функция корреляции затухала, а также в пределе, t равной бесконечности, равнялась нулю. Пример эргодического процесса изображен на рисунке ниже.
Рисунок 3. Пример эргодического процесса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рассмотрим следующий случайный процесс (U(t)).
$U(t) = X(t) + v$
где: Х(t) - эргодический случайный процесс; v - случайная величина с дисперсией mv и дисперсией Dv.
Из теории случайных процессов известно следующее:
$mv(t) = mx + mv$
$kv (т) = кх(т) + Dх$
Отсюда получается:
Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Таким образом данный процесс не эргодический, потому что не выполняется следующее условие:
Рисунок 5. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Не эргодичность случайного процесса может быть вызвана тем, что как слагаемое случайного процесса присутствует случайная величина.
Случайная величина – это переменная, у которой значения являются численными исходами некоторого случайного эксперимента или феномена.
На практике, если имеется хотя бы одна реализация случайного процесса применяется гипотеза о эргодичности и стационарности. Потому что в данном случае оценка статистических характеристик, которая получается по данной реализации, могут считаться все характеристики всего случайного процесса. Стоит учитывать, что выбор вероятностей не может быть формальным. Надо руководствоваться не только общими соображениями, но и также эмпирическими данными. Потому что это будет исключать вероятность того, что модель будет описана неадекватно или будет противоречивой.
