Спектральный анализ сигнала. Ряд Фурье. Преобразование Фурье
Спектральный анализ сигнала – это способ измерения сигнала, благодаря которому можно дать характеристику его частотного состава.
К основным задачам спектрального анализа сигнала относятся:
- Получение сигнала по известному спектральному разложению - обратное преобразование.
- Представление анализируемого сигнала в виде суммы гармонических сигналов, обладающих разными частотами - спектральное разложение сигнала.
- Анализ спектральных составляющих сигнала для изучения его свойств.
Ряд Фурье представляет собой инструмент, который используется для спектрального анализа периодических сигналов. Самой распространенной формой записи ряда Фурье является следующая формула:
Рисунок 1. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
где, s(t) - непрерывная функция времени; w1 - круговая частота времени, которая соответствует периоду повторения сигнала; wk - гармоника сигнала с номером k; С k - коэффициент ряда с номером k.
Круговая частота определяется следующим образом:
$w1 = 2п / Т$
где, п = 3,14; Т - период повторения сигнала.
Гармоника сигнала с номером k рассчитывается по формуле:
$wk = k*w1$
А формула для расчета коэффициента с номером k выглядит следующим образом:
Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Преобразование Фурье применяется для спектрального анализа непериодических сигналов. Формулы для данного преобразования получают из формул, использующихся в ряде Фурье, посредством устремления периода повторения сигнала к бесконечности. В том случае, когда аналоговый сигнал представлен непрерывной функцией, имеющей вид s(t), то его спектральная функция задается формулой прямого преобразования Фурье:
Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
где, w - текущая круговая частота.
Круговая частота – это количество радиан, которые проходит гармоническая функция за единицу времени.
Получается, что аналоговый сигнал, выраженный непрерывной функцией времени, и спектральная функция связанным обратным и прямым преобразованием Фурье. Модуль спектральной функции называется амплитудным спектром (|S(w)|), а ее аргумент фазовым спектром (фs = arg (S(w)).
Если анализируемый сигнал является вещественной функцией, то спектральная функция сопряженно-симметрична относительно нулевой частоты:
Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Если функция s(t) является четной, то спектр будет чисто существенным, если нечетная, то спектральная функция будет нечетной или мнимой.
Существуют два способа измерения характеристик спектра сигнала:
- Вычисление преобразования Фурье с помощью цифровых средств (параллельный анализ, последовательный анализ и анализ при помощи дисперсионных линий задержки.
- Метод фильтрации (выделение составляющих спектра сигнала при помощи узкополосного фильтра).
Дисперсионно-временной метод анализа сигнала
Дисперсионно-временной метода спектрального анализа сигнала основан на использовании дисперсионной линии задержки, представляющей собой устройство, в котором продолжительность задержки сигнала зависит от его частоты. Частотные составляющие сигнала задерживаются в дисперсионной линии задержки на разные временные отрезки, в результате чего снимаются выхода линии в разное время. Огибающая отклика, которая выделяется детектором, рассматривается на осциллографа и представляет собой спектр входного сигнала.
Применение данного метода анализа позволяет сделать гораздо проще устройства анализаторов параллельного тип, обеспечить анализ спектров редко повторяющихся и одиночных импульсов, а также получать результаты в таком же темпе, в каком поступает входной сигнал.
В дисперсионных спектральных анализаторах используются дисперсионные линии, у которых модуль коэффициента постоянен (К(w) = const), а квадратичная фазовая характеристика выглядит следующим образом.
Рисунок 5. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
где, w1 - нижняя граничная частота рабочего диапазона; т1 - задержка на частоте w1; u - скорость, с которой изменяется частота; В - полоса пропускания; Т - продолжительность импульсной характеристики дисперсионной линии задержки.
Скорость изменения частоты рассчитывается по следующей формуле:
$u = В / Т$
Групповое время задержки сигнала выглядит следующим образом.
Рисунок 6. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Таким образом групповое время задержки сигнала является линейной функцией его частоты. Пределы линейного изменения задержки намного больше, чем длительность входного импульса.
В случае анализа редко повторяющихся и одиночных импульсов, анализируемый импульс проходит через дисперсионной линии задержки, минуя предварительное преобразование. Огибающая выходного напряжения выглядит следующим образом:
Рисунок 7. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
где, K (w) - модуль коэффициента передачи фильтра.
Эта огибающая воспроизводит модуль спектральной функции импульса S (w), который развернут во времени.
