Разветвленная цепь синусоидального тока

Синусоидальный ток и его основные характеристики

Графически синусоидальный закон изображен на рисунке ниже.

Рисунок 1. Синусоидальный ток. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Математически закон выглядит следующим образом:

$i(t) = Imsin * ((2пt / T) + ф) = Imsin * (wt + ф)$

где: i(t) – мгновенные значения Im – максимально значение функции (амплитуда); Т — время одного полного колебания (период); w – угловая частота; ф — начальная фаза переменного синусоидального тока; п = 3,14

Частота колебаний может быть рассчитана по следующей формуле:

$f = 1 / T$

Угловая частота рассчитывается следующим образом:

$w = 2 * п * f = 2п / Т$

(w * t + ф) является аргументом синуса и называется фазой. Данный параметр характеризуется состояние колебаний в данный момент времени t. Выражение для синусоидального напряжения будет иметь следующим вид:

$u(t) = Umsin(wt + ф)$

где Um – максимальное амплитудное значение напряжения.

Любая синусоидальная функция может быть определена всего тремя величинами:

• Начальная фаза.
• Амплитуда.
• Угловая частота.

В странах Западной Европы наиболее широкое распространение получили установки синусоидального тока, имеющие частоту 50 герц, которая принята за стандартную. В Соединенных Штатах Америки стандартной частотой является 60 герц. Диапазон частот синусоидальных токов, использующихся на производственных и бытовых объектах, достаточно широк: от долей герца (геология) до миллиарда герц (радиотехника).

Синусоидальные электродвижущие силы и токи относительно низких частот (до нескольких килогерц) получают при помощи генераторов. Синусоидальные токи и электродвижущие силы высокой частоты получаются благодаря работе полупроводниковых генераторов и ламп.

Синусоидальный ток имеет ряд преимуществ относительно постоянного, что стало причиной его более широкого использования. Передача, преобразование, производство электрической энергии более удобно и экономично при использовании переменного тока. Синусоидальный ток широко используется в таких областях, как электротехника и радиоэлектроника. Все современное бытовое электроснабжение производится на переменном токе.

Расчет разветвленных цепей синусоидального тока

Все методы расчета, которые используются для расчета электрических разветвленных цепей постоянного тока, справедливы для цепей синусоидального тока. Единственное существенное отличие - уравнения при расчете разветвленных цепей синусоидального тока должны быть записаны в комплексной форме. Сущность комплексного метода расчета разветвленных цепей синусоидального тока заключается в том, что напряжения, электродвижущие силы, синусоидальные токи изображаются комплексными числами, а геометрические операции над векторами меняются на алгебраические операции над комплексными числами. Данный метод позволяет рассчитывать цепи синусоидального тока алгебраически, аналогично цепям постоянного электрического тока.

Допустим, что необходимо рассчитать токи для схемы, которая представлена на рисунке ниже.

Рисунок 2. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для решения составляется система уравнений согласно закона Кирхгофа.

$I1 + I2 + I3 = J$

$(R1 + jXL) * I1 - (jXC) * I2 = E1 - E2$

$-jXC * I2 – R3I3 = E2$

где: I – электрический ток; XL – индуктивное сопротивление; XC – индуктивная емкость; Е — электродвижущая сила; R – сопротивление

Как видно на схеме у всех источников цепи одна частота. В рассматриваемой цепи имеются два узла, поэтому для определения токов цепи можно не решать систему уравнения, а использовать формулу междуузлового напряжения:

$Uab = (-E1 * Y1 - E2 * Y2 + J1) / (Y1 + Y2 + Y3)$

Uab – напряжение между узлами A и B

Так как

$Y1 = 1/ (R1 + jXL)$

$Y2 = 1 / (-jXC)$

$Y3 = 1/R3$

Отсюда

$I1 = (Uab + E1) / (R1 + jXL)$

$I2 = (Uab + E2) / (-jXC)$

$I3 = Uab / R3$

Предположим, что необходимо найти выходное напряжение разветвленной цепи синусоидального тока, изображенной на рисунке ниже. В цепи содержится идеальный операционный усилитель, а также uвх = 10sin314t, C = 0,068 мкф, R1=R2=R3R=47 Ом.

Рисунок 3. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Назначают положительные направления токов, как показано на схеме выше, поэтому

$Uвх = 10 / √ 2$

Так как операционный усилитель в рассматриваемой цепи идеальный, то есть электрические токи входов равняются нулю, то уравнения, согласно законам Кирхгофа будут иметь следующий вид:

$I1 + I2 = 0$

$-Uвх + IcZ = 0$

$-Uвх + I1 * R1 - I2 * R2 + Uвых = 0$

Где

Z = R – (j / wc) – комплексное сопротивление

Из второго уравнения системы получается, что

$Ic = Uвх / Z$

где, Ic – электрический ток, который протекает через конденсатор.

Следовательно, по закону Ома

$UR3 = IcRc = (Uвх / Z) * R3$

Теперь можно рассчитать I1 и I2

$I1 = (Uвх — UR) / R1$

$I1 = -I2$

Комплексное значение выходного напряжения теперь рассчитывается из уравнения Кирхгофа:

$Uвых = Uвх - I1 * R1 + I2 * R2$