Расчет разветвленных линейных электрических цепей с сосредоточенными параметрами

Элементы цепи с сосредоточенными параметрами

Когда размеры элементов цепи, меньше, чем длина электромагнитной волны, то ее напряжения и токи зависят только от времени. Электрические цепи с сосредоточенными параметрами могут быть описаны дифференциальными уравнениями, примером данной цепи является любая цепь, содержащая:

1. Резисторы.
2. Дискретные элементы.
3. Диоды.
4. Транзисторы.
5. Конденсаторы.

Расчет разветвленных линейных электрических цепей с сосредоточенными параметрами

Для расчета разветвленных цепей с сосредоточенными параметрами могут использоваться следующие методы:

• Метод контурных токов.
• Метод узловых потенциалов.
• Расчет по уравнениям Кирхгофа.
• Метод эквивалентного генератора.
• Символический метод

Рассмотрим цепь, представленную на рисунке ниже.

Рисунок 1. Схема цепи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Необходимо рассчитать напряжения на конденсаторах и заряды на обкладках, учитывая, что нам известны значения емкостей и электродвижущих сил, а также значение начального заряда.

Сначала выбираются положительные направления напряжений на конденсаторах в узле а и таким образом:

$Uab = (E1 * C1 – E2 * C2) / (C1 + C2 + C3)$

Отсюда теперь можно рассчитать напряжение на третьем конденсаторе, следующим образом:

$U3 = –Uab$

Напряжение на первом конденсаторе можно рассчитать по следующей формуле:

$U1 = E1 – Uab$

На втором конденсаторе формула для расчета напряжения выглядит следующим образом:

$U2 = –E2 – Uab$

Теперь рассчитаем заряды на обкладках, которые присоединены к узлу а. Предположим, что напряжения на первом конденсаторе больше нуля, тогда на первом конденсаторе, который обращен к узлу а, заряд будет отрицательный:

$–q1 = –U1 * C1$

Если предположить, что напряжения на втором и третьем конденсаторах меньше нуля, то формулы для расчета зарядов на них будет выглядеть следующим образом:

$q2 = –U2 * C2$

$q3 = –U3 * C3$

Правильность решения проверяется по условию:

$–q1 + q2 + q3 = 0$

Теперь предположим, что начальный заряд больше нуля. Для определения значения напряжений на конденсаторах, в данном случае, можно воспользоваться методом узловых потенциалов. Допустим, что узел b заземлен, тогда неизвестным будет потенциал узла а. Формула для расчета потенциала в узле а имеет следующий вид:

$ФаGaa = Ia$

где: Gaa - сумма проводимостей всех ветвей цепи, которые сходятся в узле а; Ia - узловой электрический ток, который равен алгебраической сумме токов, полученных как произведение электродвижущих сил ветвей цепи на их проводимости и плюс ток, который протекает к узлу от источника.

Сумма проводимостей может быть заменена суммой емкостей, а узловой ток можно выразить следующим образом:

$E1C1 – E2C2 + qн$

В данной формуле начальный заряд (qн) представляет собой электрический ток, который протекает к узлу а от источника. Получается следующее выражение:

$Фа * (С1 + С2 + С3) = Е1 * C1 - E2 * C2 + qн$

Таким образом формулы для расчета напряжений на конденсаторах будут выглядеть следующим образом:

$U1 = E1 – Фа$

$U2 = –E2 – Фа$

$U3 = –Фа$

Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора применяется для определения электрического тока в одной из ветвей цепи. В его основу положена теорема об активном двухполюснике. Идея заключается в том, что часть цепи, определение параметров которой не требуется, заменяется на эквивалентный генератор, сопротивление и электродвижущая сила которого известны. Алгоритм расчета следующий: сначала выбирается ветвь для расчета; считается электродвижущая сила эквивалентного генератора; рассчитывается эквивалентное сопротивление генератора; рассчитывается электрический ток в выбранной ветви.

Рассмотрим электрическую цепь, которая представлена на рисунке ниже.

Рисунок 2. Схема цепи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Допустим, что нам даны следующие исходные данные: E1 = 40 В; R1 = 8 Ом; R2 = 20 Ом; R3 = 5 Ом; R4 = 12 Ом. Необходимо рассчитать Iab, который протекает через резистор R4, преобразованная схема будет выглядеть следующим образом:

Рисунок 3. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Теперь электрический ток, который протекает через резистор R4 можно рассчитать по формуле:

$Iаb = Eэкв / (Rab + Rэкв)$

Чтобы определить Eэкв и Rэкв нужно рассмотреть холостой режим работы генератора. С этой целью от цепи отсоединяется ветвь ab, как показано на рисунке ниже.

Рисунок 4.

Для данной схемы Eэкв рассчитывается по следующей формуле:

$Еэкв = Uхх = I * R2 = (E * R2) / (R1 + R2 + R3) = 40 * 20 / (8 + 20 + 5) = 800 / 33 = 24,2 \ В$

Чтобы рассчитать Rэкв применяется метод пассивного двухполюсника, для этого из цепи исключается источник электродвижущей силы (как показано на рисунке ниже) и определяется общее сопротивление

Рисунок 5. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Эквивалентное сопротивление получившейся схемы рассчитывается по формуле:

$Rэкв = ((R1 + R3) * R2) / (R1 + R2 + R3) = ((8 + 5) * 20)) / 8 + 20 + 5 = 260 / 33 = 7,9 \ Ом$

Теперь, зная значения Eэкв и Rэкв, рассчитывается Iab

$Iаb = Eэкв / (Rab + Rэкв) = 40 / 12 + 7.9 = 40 / 19.9 = 2.01 \ A$