Элементы цепи с сосредоточенными параметрами
Электрическая цепь с сосредоточенными параметрами – это электрическая цепь, в состав которой входят элементы с сосредоточенными параметрами.
Элементы с сосредоточенными параметрами – это элементы, размеры которых намного меньше, чем длина электромагнитной волны.
Когда размеры элементов цепи, меньше, чем длина электромагнитной волны, то ее напряжения и токи зависят только от времени. Электрические цепи с сосредоточенными параметрами могут быть описаны дифференциальными уравнениями, примером данной цепи является любая цепь, содержащая:
- Резисторы.
- Дискретные элементы.
- Диоды.
- Транзисторы.
- Конденсаторы.
Расчет разветвленных линейных электрических цепей с сосредоточенными параметрами
Для расчета разветвленных цепей с сосредоточенными параметрами могут использоваться следующие методы:
- Метод контурных токов.
- Метод узловых потенциалов.
- Расчет по уравнениям Кирхгофа.
- Метод эквивалентного генератора.
- Символический метод
Рассмотрим цепь, представленную на рисунке ниже.
Рисунок 1. Схема цепи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Необходимо рассчитать напряжения на конденсаторах и заряды на обкладках, учитывая, что нам известны значения емкостей и электродвижущих сил, а также значение начального заряда.
Сначала выбираются положительные направления напряжений на конденсаторах в узле а и таким образом:
Uab=(E1∗C1–E2∗C2)/(C1+C2+C3)
Отсюда теперь можно рассчитать напряжение на третьем конденсаторе, следующим образом:
U3=–Uab
Напряжение на первом конденсаторе можно рассчитать по следующей формуле:
U1=E1–Uab
На втором конденсаторе формула для расчета напряжения выглядит следующим образом:
U2=–E2–Uab
Теперь рассчитаем заряды на обкладках, которые присоединены к узлу а. Предположим, что напряжения на первом конденсаторе больше нуля, тогда на первом конденсаторе, который обращен к узлу а, заряд будет отрицательный:
–q1=–U1∗C1
Если предположить, что напряжения на втором и третьем конденсаторах меньше нуля, то формулы для расчета зарядов на них будет выглядеть следующим образом:
q2=–U2∗C2
q3=–U3∗C3
Правильность решения проверяется по условию:
–q1+q2+q3=0
Теперь предположим, что начальный заряд больше нуля. Для определения значения напряжений на конденсаторах, в данном случае, можно воспользоваться методом узловых потенциалов. Допустим, что узел b заземлен, тогда неизвестным будет потенциал узла а. Формула для расчета потенциала в узле а имеет следующий вид:
ФаGaa=Ia
где: Gaa - сумма проводимостей всех ветвей цепи, которые сходятся в узле а; Ia - узловой электрический ток, который равен алгебраической сумме токов, полученных как произведение электродвижущих сил ветвей цепи на их проводимости и плюс ток, который протекает к узлу от источника.
Сумма проводимостей может быть заменена суммой емкостей, а узловой ток можно выразить следующим образом:
E1C1–E2C2+qн
В данной формуле начальный заряд (qн) представляет собой электрический ток, который протекает к узлу а от источника. Получается следующее выражение:
Фа∗(С1+С2+С3)=Е1∗C1−E2∗C2+qн
Таким образом формулы для расчета напряжений на конденсаторах будут выглядеть следующим образом:
U1=E1–Фа
U2=–E2–Фа
U3=–Фа
Метод эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора применяется для определения электрического тока в одной из ветвей цепи. В его основу положена теорема об активном двухполюснике. Идея заключается в том, что часть цепи, определение параметров которой не требуется, заменяется на эквивалентный генератор, сопротивление и электродвижущая сила которого известны. Алгоритм расчета следующий: сначала выбирается ветвь для расчета; считается электродвижущая сила эквивалентного генератора; рассчитывается эквивалентное сопротивление генератора; рассчитывается электрический ток в выбранной ветви.
Рассмотрим электрическую цепь, которая представлена на рисунке ниже.
Рисунок 2. Схема цепи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Допустим, что нам даны следующие исходные данные: E1 = 40 В; R1 = 8 Ом; R2 = 20 Ом; R3 = 5 Ом; R4 = 12 Ом. Необходимо рассчитать Iab, который протекает через резистор R4, преобразованная схема будет выглядеть следующим образом:
Рисунок 3. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Теперь электрический ток, который протекает через резистор R4 можно рассчитать по формуле:
Iаb=Eэкв/(Rab+Rэкв)
Чтобы определить Eэкв и Rэкв нужно рассмотреть холостой режим работы генератора. С этой целью от цепи отсоединяется ветвь ab, как показано на рисунке ниже.
Рисунок 4.
Для данной схемы Eэкв рассчитывается по следующей формуле:
Еэкв=Uхх=I∗R2=(E∗R2)/(R1+R2+R3)=40∗20/(8+20+5)=800/33=24,2 В
Чтобы рассчитать Rэкв применяется метод пассивного двухполюсника, для этого из цепи исключается источник электродвижущей силы (как показано на рисунке ниже) и определяется общее сопротивление
Рисунок 5. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Эквивалентное сопротивление получившейся схемы рассчитывается по формуле:
Rэкв=((R1+R3)∗R2)/(R1+R2+R3)=((8+5)∗20))/8+20+5=260/33=7,9 Ом
Теперь, зная значения Eэкв и Rэкв, рассчитывается Iab
Iаb=Eэкв/(Rab+Rэкв)=40/12+7.9=40/19.9=2.01 A