Цепи синусоидального тока
Синусоидальный электрический ток – это электрический ток, который изменяется по синусоидальному закону.
Графически синусоидальный закон изображен на рисунке ниже.
Рисунок 1. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Максимальное значение представленной выше функции называется амплитудой, которая обозначается заглавной буквой и строчной буквой m, например - Im - амплитуда электрического тока, Um - амплитуда напряжения. Время, за которое совершается одно колебание, называется периодом и обозначается буквой Т. Частота рассчитывается по следующей формуле:
$f = 1 / T$
А формула для расчета следующей угловой скорости выглядит следующим образом:
$w = 2 π f = 2 π / Т$
где π = 3,14
Аргумент синуса (wt + д) называется фазой и определяется следующими величинами:
- Начальной фазой - д.
- Амплитудой.
- Угловой частотой - w.
Электродвижущую силу и синусоидальный ток низких частот (до нескольких килогерц) получают при помощи синхронных генераторов. Синусоидальные токи и электродвижущая сила с высокими частотами получают при помощи полупроводников и ламповых генераторов. Источник синусоидального тока обозначается e(t), а источник синусоидальной электродвижущей силы j(t)
При обозначении величин в расчетах и на схемах очень важен регистр букв, так как принято, что заглавными обозначаются действующие значения величин (E, U, I), а строчными мгновенные (e, u, i).
Расчет цепей синусоидального тока методом комплексных амплитуд
Метод комплексных амплитуд – это метод расчета электрических цепей, в состав которых входят реактивные элементы, в установившемся режиме при гармонических входных сигналах.
Основой для создания метода комплексных амплитуд послужили свойства гармонических колебаний: при вычитании или сложении, интегрировании, а также дифференцировании гармонических колебаний, обладающих одинаковыми частотами, их форма остается неизменной, а начальная фаза и амплитуда видоизменяются. Данные свойства позволяют свести описание электрической цепи в виде интегрально-дифференциальных уравнений к таким уравнениям, которые решаются при помощи алгебры комплексных чисел. В случае гармонического колебания, задача анализа установившегося режима сводится к определению комплексной амплитуды, которая содержит информацию о начальной фазе отклика и амплитуде. Метод комплексных амплитуд получил широкое распространение благодаря:
- возможности применения результатов анализа воздействия произвольных периодических и непериодических сигналов.
- необходимости проведения анализа гармонического воздействия, так как гармонические колебания применяются для питания электротехнических устройств и приборов, а также для передачи данных, в качестве тестовых сигналов при проведении испытаний и наладки электронных приборов.
- простоте осуществления анализа.
Метод комплексных амплитуд основан на представлении синусоидальной функции через экспоненты с мнимым аргументом. Аналитически комплексное число в тригонометрической, показательной и алгебраической форме выглядит следующим образом:
Рисунок 2. Формулы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
где, а1 - вещественная составляющая; а2 - мнимая составляющая; А - модуль комплексного числа; ф - аргумент комплексного числа.
Геометрически комплексное число можно представить вектором комплексной плоскости прямоугольными или полярными координатами. Пример геометрического представления комплексного числа изображен на рисунке ниже.
Рисунок 3. Геометрическое представление комплексного числа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
А - прямоугольные координаты; Б - полярные координаты
Аргумент и модуль комплексного числа находятся из прямоугольного треугольника
Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Затем по формуле Эйлера раскладывается амплитуда напряжения:
Рисунок 5. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Мнимая часть выше представленного выражения является синусоидально-изменяющимся напряжением, то есть:
Рисунок 6. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
На плоскости комплексная амплитуда напряжения (Um) изображается вектором, у которого амплитуда равна начальной фазе, длина пропорциональна вещественной амплитуде.
Рисунок 7. Комплексная амплитуда напряжения. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Комплексное сопротивление (Z) рассчитывается по следующей формуле:
Рисунок 8. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
где, R - активное сопротивление; х - модуль реактивного сопротивления, который рассчитывается по формуле: х=хL+xC; хL - модуль индуктивного сопротивления; х - модуль емкостного сопротивления; z - модуль комплексного сопротивления.
Закон Ома для цепей синусоидального тока записывается следующим образом:
$I = E / Z$
где, I - комплекс действующего значения электрического тока; Е - комплекс действующего значения электродвижущей силы; Z - комплексное сопротивление.
Первый закон Кирхгофа, согласно которому алгебраическая сумма комплексных амплитуд тока равна нулю, выражается следующей формулой:
Рисунок 9. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
По второму закону Кирхгофа по алгебраическая сумма комплексных амплитуд падений напряжений на элементах контура равняется алгебраической сумме комплексных амплитуд электродвижущей силы источников рассматриваемого контура, то есть
Рисунок 10. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
