Расчет цепей переменного синусоидального тока

Основные величины и методы расчета электрической цепи переменного синусоидального тока

В быту для электроснабжения используется переменный синусоидальный ток.

Графически синусоидальный закон изображен на рисунке ниже.

Рисунок 1. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

$I = Imsin * ((2пt / T) + ф) = Imsin * (wt + ф)$

где: Im – максимальное значение амплитуды электрического тока; T – время, за которое совершается одно полное колебание (период); f – количество колебаний за одну секунду(частота); w – угловая частота; п = 3,14; - ф — начальная фаза

Частота колебаний рассчитывается по следующей формуле:

$f = 1 / Т$

Угловую частоту рассчитывают следующим образом:

$w = 2п * f = 2п / Т$

Любая синусоидальная функция определяется следующими величинами, которые являются основными характеристиками переменного синусоидального тока:

• Угловая частота.
• Начальная фаза.
• Амплитуда.

Для расчета электрических цепей переменного синусоидального тока могут быть использованы следующие способы:

1. Операции с синусоидами.
2. Метод проводимостей.
3. Символический метод.
4. Метод узловых потенциалов.
5. Метод контурных токов.
6. Метод эквивалентного генератора.
7. Метод векторных диаграмм.

Операции с синусоидами и метод векторных диаграмм

Рассмотрим узел электрической цепи, который изображен на рисунке ниже.

Рисунок 2. Узел цепи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Допустим, что нам известны i1 и i2 и необходимо рассчитать значение i3. Данная задача может быть решена при помощи сложения синусоид, то есть:

$i3 = i1 + i2$

Сумма двух синусоид с одинаковой частотой тоже является синусоидой такой же частоты. Таким образом ее начальная фаза и амплитуда могут быть определены следующим образом:

Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

$tgф3 = (Im1sinф1 + Im2sinф2) / (Im1cosф1 + Im2cosф2)$

Подставляя численные значения можно определить ф3

Рассмотрим решение данной задачи методом векторных диаграмм. В соответствии с первым законом Кирхгофа:

$Im3 = Im2 + Im1$

В прямоугольной системе координат строятся векторы I1m и I2m, как показано на рисунке ниже.

Рисунок 4. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Так как в получившемся треугольнике 0аб сторона аб равняется Im2, то

Рисунок 5. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Когда треугольник получается не прямоугольным, то используется теорема косинусов. Начальная фаза третьего тока равняется углу наклона вектора Im3 горизонтальной оси, то есть:

$ф3 = ф1 + а + arctg(Im2 / Im1)$

Метод проводимостей

Расчет цепей переменного синусоидального тока методом проводимостей заключается в замене участков цепи, содержащих только последовательно или параллельно соединенные двухполюсники, эквивалентными им двухполюсниками. В случае параллельного соединения двухполюсников каждый из них представляет собой схему замещения из параллельно соединенных реактивной и активной проводимостей. Реактивную и активную проводимости эквивалентной схемы получают благодаря суммированию отдельно реактивных и активных проводимостей. Когда двухполюсники соединены последовательно, каждый из них представляет собой схему замещения из последовательно соединенных реактивного и активного сопротивлений. Реактивное и активное сопротивления получают в результате суммирования отдельно реактивных и активных сопротивлений.

После замены всей рассматриваемой цепи одним эквивалентным двухполюсником рассчитывается его фазовый угол и полное сопротивление.

$фэ = arctg(хэ / Rэ)$

Рисунок 6. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где: фэ - фазовый угол эквивалентного двухполюсника; хэ - сумма реактивных сопротивлений эквивалентного двухполюсника; Rэ - сумма реактивных сопротивлений эквивалентной схемы; Zэ - полное сопротивление эквивалентного двухполюсника.

Рассмотрим схему, представленную на рисунке ниже.

Рисунок 7. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Допустим, что нам известна электродвижущая сила, которая действует в данной схеме:

$e(t) = Emsin(wt + ш)$

где ш - начальная фаза

Необходимо определить входной электрический ток i1

Рассчитываем активную и реактивную проводимости на вторых сопротивлениях и емкостях:

Рисунок 8. Формулы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где: g - активная проводимость; b - реактивная проводимость; w - угловая частота

На третьем элементе R3, активная и реактивная проводимости будут равняться:

$g3 = 1/R3$

$b3 = 0$

Таким образом получается:

$g23 = g2 + g3$

$b23 = b2 + b3 = b2$

Теперь необходимо рассчитать суммарное активное сопротивление R23 и реактивное сопротивление х23

Эквивалентное активное сопротивление рассчитывается следующим образом:

$R23 = R1 + R23$

Реактивное эквивалентное сопротивление рассчитывается следующим образом:

$хэ = w*L1 + x23$

Формула для расчета фазового угла эквивалентного двухполюсника выглядит следующим образом:

$фэ = arctg(xэ / Rэ)$

Отсюда максимальное значение амплитуды электрического тока рассчитывается по формуле:

$Im = Em / Zэ$

Начальная фаза:

$шi = ш - шэ$

Таким образом входной ток равен:

$i1(t) = Imsin(wt + шi)$