Алгоритм расчета электрической цепи методом контурных и узловых уравнений
Метод узловых и контурных уравнений — самый простой метод расчета электрической цепи, который основан на составлении уравнений по первому и второму законам Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа звучит следующим образом: алгебраическая сумма токов в ветвях цепи, которые сходятся в каждом узле, равна нулю. При этом ток, направленный к узлу считается положительным, а направленный от него отрицательным. Сумма токов, которые направлены к узлу цепи равняется сумме токов, направленных от него. Таким образом получается, что в узел втекает столько же тока, сколько и вытекает из него (правило фундаментального закона сохранения заряда.
Второй закон Кирхгофа гласит — алгебраическая сумма напряжений на резистивных составляющих замкнутого контура цепи равняется сумме электродвижущих сил в составе данного контура. В том случае, когда источник электродвижущей силы отсутствует в контуре, суммарное падение напряжений равно нулю.
Порядок расчета электрической цепи методом узловых и контурных уравнений выглядит следующим образом:
- Определяют количество неизвестных токов (количество ветвей цепи равняется число токов в ней).
- Произвольно выбираются направление определенных токов и обозначаются на рассматриваемой схеме.
- Составляется система уравнений согласно первому закону Кирхгофа, количество которых на единицу меньше количества узлов в рассматриваемой схеме.
- Составляются недостающие, до общего количества, уравнения по второму закону Кирхгофа. Направления обхода тока, как правило, выбираются одинаковыми.
- Определяются неизвестные токи, после чего решается получившаяся система уравнений. В том случае, когда рассчитанный (определенный) ток имеет отрицательную величину, это значит, что его направление противоположно направлению, которое было выбрано в пункте 2.
- Осуществляется проверка посредством составления баланса мощностей или расчет рассматриваемой цепи производится другим методом.
Баланс мощностей электрической цепи — это суммарная генерируемая источниками электроэнергии мощность, равная сумме мощностей, которые потребляются в цепи.
Примеры расчета методом узловых и контурных уравнений
Рассмотрим схему, которая представлена на рисунке ниже
Рисунок 1. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Допустим, что E1 = 50 В; Е2 = 30 В; Е3=3 В; R1 = 100 Ом; R2 = 50 Ом; R3 = 8 Ом; r03 = 0,5 Ом; r01 = r02 = 0 Ом. Нам необходимо рассчитать все токи цепи.
Решение задачи следует начинать с определения количества неизвестных токов и выбора их направления. В каждом неразветвленном участке цепи (ветвь) электрический ток одно и тоже значение от его начала и до конца. К узловым точкам (А и Б) присоединены три ветви:
- БВГА с током I1
- БА с током I2
- БДЖА с током I3
Таким образом количество разных токов равняется количеству ветвей рассматриваемой цепи. Направление токов выбирается произвольно и при них составляются уравнения. После чего они решаются и определяются их истинные направления (по алгебраическим знакам). В рассматриваемой задаче три неизвестны — I1, I2, I3, для них и составляется система уравнения по законам Кирхгофа. Уравнения на основе первого закона более простые, поэтому следует начинать с них. Известно, что для электрической цепи с n узлами можно составить n-1 независимых уравнений. Уравнение по первому закону Кирхгофа для узла А будет выглядеть следующим образом:
I1+I2+I3=0
Уравнения, которых не хватает составляются по второму закону Кирхгофа. Для этого выбираем контуры БАЖДБ и ВГЖДВ. Принимаем, что обход контуров цепи осуществляется по часовой стрелке и учитывая правила знаков получаем следующие уравнения:
I2∗(R2+r02)−I3∗(R3+r03)=E2−E3
I1∗(R1+r01)−I3∗(R3+r03)=E1−E2
Отсюда
I2∗(50+0)−I3∗(8+0,5)=30−3
50I2–8,5∗I3=27
Подставив численные значения в третьем уравнение получаем:
I1∗(100+0)–I3∗(8+0,5)=50−30
100I1−8,5I3=20
Таким образом вычисление токов сводится к решению системы из трех уравнений с тремя неизвестными. Рассчитаем I2 из уравнения и подставим значение в уравнение:
−50∗(I1+I3)–8,5∗I3=27
Приводя подобные числа получим:
−50I1−58,5I3=27
В результате у нас получилось два уравнения с двумя неизвестными (I1, I3). Уравнение (-50I1-58,5I3 = 27) умножается на два, в результате чего получается:
−100∗I1−117∗I3=54 Получившееся уравнение складывается с уравнение (100I1-8,5I3 = 20):
−8,5∗I3−117∗I3=64
125,5∗I3=64
Отсюда
I3=−(64/125,5)=−0,5A
Теперь подставляем получившееся значение I3 в уравнение, где неизвестно I1:
−100∗I1−117∗(−0,5)=64
−100I1+88,5=64
−100∗I1=−24,5
I1=−24,5/−100=0,245A
Теперь получившиеся значения подставляются в первое уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа:
0,245−I2−0,5=0
I2=0,245+0,5=0,745A
Проверка результата осуществляет при помощи составления баланса мощностей или решения задачи другим способом.