Метод узловых и контурных уравнений

Алгоритм расчета электрической цепи методом контурных и узловых уравнений

Первый закон Кирхгофа звучит следующим образом: алгебраическая сумма токов в ветвях цепи, которые сходятся в каждом узле, равна нулю. При этом ток, направленный к узлу считается положительным, а направленный от него отрицательным. Сумма токов, которые направлены к узлу цепи равняется сумме токов, направленных от него. Таким образом получается, что в узел втекает столько же тока, сколько и вытекает из него (правило фундаментального закона сохранения заряда.

Второй закон Кирхгофа гласит — алгебраическая сумма напряжений на резистивных составляющих замкнутого контура цепи равняется сумме электродвижущих сил в составе данного контура. В том случае, когда источник электродвижущей силы отсутствует в контуре, суммарное падение напряжений равно нулю.

Порядок расчета электрической цепи методом узловых и контурных уравнений выглядит следующим образом:

1. Определяют количество неизвестных токов (количество ветвей цепи равняется число токов в ней).
2. Произвольно выбираются направление определенных токов и обозначаются на рассматриваемой схеме.
3. Составляется система уравнений согласно первому закону Кирхгофа, количество которых на единицу меньше количества узлов в рассматриваемой схеме.
4. Составляются недостающие, до общего количества, уравнения по второму закону Кирхгофа. Направления обхода тока, как правило, выбираются одинаковыми.
5. Определяются неизвестные токи, после чего решается получившаяся система уравнений. В том случае, когда рассчитанный (определенный) ток имеет отрицательную величину, это значит, что его направление противоположно направлению, которое было выбрано в пункте 2.
6. Осуществляется проверка посредством составления баланса мощностей или расчет рассматриваемой цепи производится другим методом.

Примеры расчета методом узловых и контурных уравнений

Рассмотрим схему, которая представлена на рисунке ниже

Рисунок 1. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Допустим, что E1 = 50 В; Е2 = 30 В; Е3=3 В; R1 = 100 Ом; R2 = 50 Ом; R3 = 8 Ом; r03 = 0,5 Ом; r01 = r02 = 0 Ом. Нам необходимо рассчитать все токи цепи.

Решение задачи следует начинать с определения количества неизвестных токов и выбора их направления. В каждом неразветвленном участке цепи (ветвь) электрический ток одно и тоже значение от его начала и до конца. К узловым точкам (А и Б) присоединены три ветви:

1. БВГА с током I1
2. БА с током I2
3. БДЖА с током I3

Таким образом количество разных токов равняется количеству ветвей рассматриваемой цепи. Направление токов выбирается произвольно и при них составляются уравнения. После чего они решаются и определяются их истинные направления (по алгебраическим знакам). В рассматриваемой задаче три неизвестны — I1, I2, I3, для них и составляется система уравнения по законам Кирхгофа. Уравнения на основе первого закона более простые, поэтому следует начинать с них. Известно, что для электрической цепи с n узлами можно составить n-1 независимых уравнений. Уравнение по первому закону Кирхгофа для узла А будет выглядеть следующим образом:

$I1+I2+I3 = 0$

Уравнения, которых не хватает составляются по второму закону Кирхгофа. Для этого выбираем контуры БАЖДБ и ВГЖДВ. Принимаем, что обход контуров цепи осуществляется по часовой стрелке и учитывая правила знаков получаем следующие уравнения:

$I2*(R2+r02)-I3*(R3+r03) = E2-E3$

$I1*(R1+r01)-I3*(R3+r03) = E1-E2$

Отсюда

$I2*(50+0)-I3*(8+0,5) = 30-3$

$50I2 – 8,5*I3 = 27$

Подставив численные значения в третьем уравнение получаем:

$I1*(100+0) – I3*(8+0,5) = 50-30$

$100I1-8,5I3 = 20$

Таким образом вычисление токов сводится к решению системы из трех уравнений с тремя неизвестными. Рассчитаем I2 из уравнения и подставим значение в уравнение:

$-50*(I1+I3) – 8,5*I3 = 27$

Приводя подобные числа получим:

$-50I1-58,5I3 = 27$

В результате у нас получилось два уравнения с двумя неизвестными (I1, I3). Уравнение (-50I1-58,5I3 = 27) умножается на два, в результате чего получается:

$-100*I1- 117*I3 = 54$ Получившееся уравнение складывается с уравнение (100I1-8,5I3 = 20):

$-8,5*I3-117*I3 = 64$

$125,5*I3=64$

Отсюда

$I3 = - (64/125,5) =- 0,5 A$

Теперь подставляем получившееся значение I3 в уравнение, где неизвестно I1:

$-100*I1-117*(-0,5) = 64$

$-100I1+88,5=64$

$-100*I1 = -24,5$

$I1 = -24,5/-100 = 0,245A$

Теперь получившиеся значения подставляются в первое уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа:

$0,245-I2-0,5=0$

$I2 = 0,245+0,5 = 0,745A$

Проверка результата осуществляет при помощи составления баланса мощностей или решения задачи другим способом.