Характеристика систем независимых и одновременных уравнений
В социальных науках в последнее время всё активнее применяются методы статистических исследований, объектом которых выступают сложные системы. Для того, чтобы дать описание и объяснение механизма их функционирования, недостаточно построить изолированные уравнения регрессии. Как правило, изменение одной переменной сопровождается изменением других переменных.
Отсюда следует, что особо значима проблема описания структуры связей между переменными, которая может быть решена применением системы уравнений. Например, если объектом исследования является спрос, который рассматривается как отношение количества потребляемых товаров и цен на них, в то же время требуется изучить предложение этих товаров. Благодаря этому можно определить искомое равновесное состояние на рынке.
Существуют два основных способа построения системы уравнений.
В самом общем виде система независимых уравнений, где каждая зависимая переменная Y рассматривается как функция одного и того же набора факторов Х, записывается на эконометрическом языке следующим образом:
Рисунок 1. Система независимых уравнений. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В каждом уравнении, рассматриваемом в самостоятельном порядке, набор факторов Х может варьироваться. Решение этой системы сводится к определению конкретных значений параметров А. Для этого используется широко известный метод наименьших квадратов (МНК), поскольку каждое уравнение этой системы является уравнением регрессии.
Однако этот метод не применим в отношении системы, так называемых, одновременных (совместных, взаимозависимых) уравнений, которая предполагает разное расположение зависимых переменных (в одних уравнениях – в левой части, в других уравнениях – в правой части).
Рисунок 2. Система одновременных уравнений. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Подобную систему уравнений в эконометрической науке зачастую называют структурной формой модели. Каждое из её уравнений не может рассматриваться самостоятельно, а для нахождения их параметров используются специальные методы оценивания.
Описание структурной и приведенной форм эконометрической модели
Структурная форма модели (то есть система одновременных уравнений) включает в себя две категории переменных:
- эндогенные (внутренние) переменные, представляющие собой зависимые переменные, которые обозначаются в математической записи как Y, а их число равняется числу уравнений в системе;
- экзогенные (внешние) переменные, представляющие собой предопределенные переменные, которые оказывают непосредственное влияние на эндогенные переменные, но каким-либо образом не зависят от них, а обозначаются в математической записи как Х.
Самая простая структурная форма модели включает в себя два уравнения: первое – Y1 = B12 ⋅ Y2 + A11 ⋅ X1 + E1, второе – Y2 = B21 ⋅ Y1 + A22 ⋅ X2 + E2. В этой системе уравнений эндогенными переменными являются Y1 и Y2, а экзогенными – Х1 и Х2, а Е1 и Е2 – это свободные члены.
Представленное деление переменных на эндогенные и экзогенные определяется, прежде всего, конкретными аспектами теоретической концепции принятой модели. Так, в одних моделях экономические переменные могут быть рассмотрены в качестве эндогенных переменных, а уже в других – в качестве экзогенных. Экзогенными переменными всегда признаются внеэкономические переменные (например, территориальная удаленность).
Кроме того, эндогенные переменные, характеризующие текущий период, в последующем периоде уже могут использоваться в качестве экзогенных переменных. Например, объем потребления в текущем периоде, помимо прочего, определяется объемами потребления в прошлых годах.
На значения эндогенной переменной оказывает влияние изменение любой экзогенной переменной, что возможно увидеть благодаря структурной формы модели. Она также предоставляет возможность получить целевые значения эндогенных переменных, потому что исследователь может выбрать, изменить и управлять экзогенными переменными (лучше через них выражать объекты регулирования).
В системе одновременных уравнений выделяют такие элементы, как структурные коэффициенты. Коэффициенты при экзогенных переменных обозначаются как А, коэффициенты при эндогенных переменных – как В.
Также имеют место быть свободные члены. Ими обозначаются не учитываемые отклонения теоретически рассчитанных переменных от фактически существующих параметров.
Структурные коэффициенты модели оцениваются посредством применения метода наименьших квадратов. Однако этот метод в результате даёт смещенные и несостоятельные оценки. Чтобы нивелировать это, в эконометрике предлагают преобразовать структурную форму модели в приведенную.
Она предполагает, что система одновременных уравнений будет преобразована в систему независимых уравнений посредством перенесения всех эндогенных переменных в левую часть уравнений, а экзогенных – в правую часть. Тогда уже применение метода наименьших квадратов становится возможным: значения эндогенных переменных могут быть выражены через экзогенные. Однако приведенная форма модели с аналитической точки зрения уступает структурной форме, поскольку в ней не оценивается взаимосвязь между эндогенными переменными.
Для структурной модели существует возможность получения единственно возможного решения. Для этого нужно уменьшить число структурных коэффициентов благодаря приравниванию некоторых из них нулю.
