Общие сведения о парной (простой) регрессии и её роли в экономике
Изучение предметов и явлений, которые имеют место быть в экономике, осуществляется во многом благодаря использованию широкого аппарата эконометрической науки. Она базируется на применении методов математического исследования в целях объяснения и прогнозирования экономических событий.
Если объекты экономической действительности выразить количественно, то эконометрика предоставляет возможность установить существование или отсутствие связи между ними, определить направление такой связи и оценить её силу. Для этого необходимо воспользоваться методами корреляционно-регрессионного анализа.
Как правило, в подобных исследованиях изучается то, как на один параметр (зависимую переменную, результат) оказывают влияние другие параметры (независимые переменные, факторы). Если одновременно изучается два или более фактора, то имеют дело с, так называемой, множественной регрессией.
Парная (простая) регрессия представляет собой эконометрическую модель, в которой значение зависимой переменной Y объясняется значением одной независимой переменной X. То есть объясняемая переменная зависит от объясняющей переменной, что можно выразить следующей функцией: Y = f (X).
Использование парной регрессии оправдано в случае наличия доминирующего фактора, который в среднем по совокупности наблюдений объясняет большую часть изменения итогового результата. На основании этой зависимости ученые получают возможность выделить, сформулировать и обосновать некоторую закономерность, существующую в текущей экономической действительности. Наиболее известным примером использования парной регрессии для объяснения экономических явлений является зависимость спроса на товар Y от цены на него X, которая, например, может быть описана уравнением Y = 3000 – 4 ⋅ X. Оно означает, что, если цена возрастет на 1 денежную единицу, то спрос в среднем снизится на 4 условные единицы.
Стоит отметить, что данная математическая функция выражает функциональную связь исследуемых признаков. Однако на них оказывают влияние (пусть и не большое) ряд других факторов. Тогда фактическое значение результативного признака будет складываться из двух слагаемых: Y = Yi + e, где Yi – это теоретическое значение результативного признака, найденное из уравнения парной регрессии, е – это случайная величина, которая характеризует отклонение реального значения результативного признака от теоретического.
Присутствие в регрессионной модели случайной величины е (также называется возмущением) обусловлено:
- влиянием факторов, не учтенных из-за спецификации модели;
- случайными ошибками, вызванными выборочным характером исходных данных;
- особенностями измерения переменных.
Таким образом, в ситуации действия случайных факторов уравнение зависимости спроса от цены следует записать следующим образом: Y = 3000 – 4 ⋅ X + е.
Особенности процесса определения эконометрической модели парной регрессии
В эконометрике существуют три метода выбор метода математической функции парной регрессии Y = f (X):
- графический метод – используется поле корреляции (в виде системы координат), наблюдение за которым позволяет подобрать наиболее подходящий вид уравнения регрессии;
- аналитический метод – в его основе лежит изучение материальной природы связи исследуемых признаков;
- экспериментальный метод – базируется на выборе модели, которая наилучшим образом описывает связь исследуемых признаков.
Использование этих методов линейной регрессии нацелено на нахождение уравнения вида Yi = a + b ⋅ X или Y = a + b ⋅ X + е. Использование первого вида уравнения заключается в подстановке фактических значений фактора Х, которому будет соответствовать теоретическое значение результативного признака Yi.
Популярность именно этой регрессионной модели объясняется тем, что каждый её параметр получает достаточно чёткую экономическую интерпретацию. Так, при изменении фактора Х на одну условную единицу, результативный показатель Y изменится на количество единиц, равное b. А если действий каких-либо факторов не будет, то значение результативного показателя Y будет равно a.
Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – a и b. Она традиционно осуществляется посредством использования метода наименьших квадратов. Он заключается в том, чтобы подобрать такие параметры a и b, при которых будет минимальной сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических.
В основе метода наименьших квадратов лежит решение следующей системы уравнений:
a ⋅ n + b ⋅ ΣX = ΣY
a ⋅ ΣX + b ⋅ Σ(X^2) = Σ(X ⋅ Y)
где n – это количество пар значений изучаемых переменных.
При использовании регрессионной модели описания экономических явлений зачастую рассчитывается показатель, характеризующий тесноту связи – коэффициент корреляции. Этот статистический показатель описывает зависимость двух случайных величин, рассчитывается как отношение их ковариации к произведению средних квадратичных отклонений, а потому изменятся в пределах от -1 до 1. Значение +1 говорит о наличии прямой зависимости, -1 – обратной зависимости, 0 – отсутствии какой-либо зависимости.
То есть, чем ближе значение модуля этого коэффициента к единице, тем сильнее связь между исследуемыми показателями. Знак же определяет только направление этой связи.
