Оптимизация – это процесс решения экономической задачи, которая заключается в нахождении максимально или минимально возможного значения искомой функции с учетом заданных заранее определенных ограничений.
Общее представление об оптимизации в экономике
В современной экономике большое значение отводится такому процессу, как оптимизация. Она представляет собой процесс максимизации или минимизации значений определенных параметров, которые с той или иной стороны характеризуют экономическую деятельность и ее результаты. Направление оптимизации (т.е. нахождение максимальных или минимальных значений) определяется сущностью экономических отношений, в рамках которых необходимо найти оптимальные значения.
Например, предприниматели стремятся, с одной стороны, к максимизации извлекаемой прибыли, а с другой стороны, к минимизации возникающих в процессе производства издержек. Это только самое общее описание тех оптимизационных задач, которые приходится решать в экономике. На самом деле они распадаются на множество более мелких задач. Так, нужно минимизировать размер уплачиваемых в бюджет налогов и затрачиваемое на транспортировку изделий время, максимизировать количество клиентов и объемы продаж и т.д.
Классификация методов оптимизации в экономике
При решении оптимизационных задач активно применяется большое число различных методов. В целом их все можно поделить на две большие группы:
- группа локальных методов оптимизации – используются в процессе поиска локального экстремума целевой функции;
- группа глобальных методов оптимизации – используются в процессе определения глобального экстремума многоэкстремальных целевых функций, что позволяет идентифицировать тенденции их глобального поведения.
В зависимости от размерности допустимого множества методы оптимизации разделяют на методы одномерной оптимизации и методы многомерной оптимизации. Вид целевой функции также используется в качестве критерия для классификации методов оптимизации. В соответствии с ним разделяют методы линейного программирования (в случае линейной целевой функции) и методы нелинейного программирования (в случае нелинейной целевой функции).
Помимо этого, методы оптимизации также могут быть численными или графическими (в данном случае речь идет про приемы интерпретации и демонстрации решения оптимизационной задачи).
Кроме того, при решении экономических оптимизационных задач широко используются методы математического программирования. Эти методы позволяют решить задачи, когда требуется выбрать оптимальную программу действий.
История создания и совершенствования методов оптимизации в экономике
Первыми задачами поиска экстремума функций при наличии ограничений типа неравенств, которые были подробно рассмотрены учеными, были задачи линейного программирования. При решении подобного рода задач сейчас используют симплекс-метод, который был разработан сначала Ж. Фурье в 1820 г., а затем Дж. Данцигом в 1947 г. Этот метод является базовым при решении задач линейного программирования и заключается в осуществлении направленного перебора смежных вершин в направлении возрастания целевой функции.
Задачи линейного программирования еще изучались такими выдающимися экономистами, как:
- Джон фон Нейман – доказал основную теорему о матричных играх;
- Л. Канторович – разработал для решения оптимизационных задач метод разрешающих множителей;
- Б. Эгервари – решил задачу линейного программирования «проблема выбора» т.н. венгерским методом;
- М.К. Гавурин – разработал метод потенциалов, который применяется при решении транспортных задач на оптимизацию.
Ряд ученых (С. Картайно, С. Дрейфус, Р. Беллман, Р. Калаба и др.) рассматривали задачи оптимизации с точки зрения теории динамического программирования. Она позволила исследователям по итогам решения задачи получить в качестве ответа оптимизирующую политику, данные которой улучшаются в процессе решения для каждого нового шага или этапа.
Флойд и Дейкстрой предложили алгоритмы решения транспортных задач оптимизации, в основе которых лежит графовая структура, т.е. теория графов. Еще несколько методов оптимизации, которые базируются на этой теории, были затронуты в работах Хопкрофта и Карпа.
Вместе с развитием линейного программирования большое внимание уделялось задачам нелинейного программирования, чей класс шире класса задач линейного программирования. Необходимые и достаточные условия оптимальности для решения задач нелинейного программирования были приведены в работе Куна и Таккера, которая была опубликована в 1951 г. Именно их работа послужила основой для последующих исследований в этой области.
Метод множителей Лагранжа и условия Каруша–Куна–Таккера относят к классическим аналитическим методам оптимизации. Кроме них также разработаны и применяются градиентные методы решения задач нелинейного программирования. Их авторами являются Деннис, Розен и Зонтендейк.
Модели оптимизации в экономике
Моделирование является одним из основных методов исследования в экономической науке. Оно представляет собой процесс создания и совершенствования моделей. В свою очередь, модели – это упрощенное представление окружающей реальности, при котором сознательно игнорируются некоторые аспекты для сосредоточения и более глубокого изучения объекта исследования.
В сфере оптимизационных задач в основном используется математическое моделирование, т. е. модели оптимизации строятся на математическом языке через составление систем уравнений и неравенств. Должна быть составлена целевая функция, которая бы включала в себя одно или несколько неизвестных. Оптимизация тогда заключается в подборе таких значений неизвестных, при которых результат функции был бы максимальным или минимальным.
