
Отношение R в любой момент имеет некоторое семейство F-зависимостей, которым удовлетворяет данное отношение. При этом одно состояние отношения удовлетворяет F-зависимости, а другое – не удовлетворяет. Необходимо найти F – семейство F-зависимостей, которому будут удовлетворять все допустимые состояния отношения R.
Множество функциональных зависимостей, которые применяются к отношению R, является конечным, поскольку существует лишь конечное количество подмножеств множества R. Следовательно, можно определить все F-зависимости, которые удовлетворяют R, путем перебора всех возможных. Время, потраченное на поиск, можно уменьшить в том случае, когда известны некоторые F-зависимости из F. В такой ситуации уменьшение времени поиска возможно зачастую потому, что остальные F-зависимости можно получить с помощью аксиом вывода.
Аксиома вывода является правилом, которое устанавливает, что если отношение удовлетворяет одним F-зависимостям, то оно также должно удовлетворять и некоторым другим F-зависимостям.
F1. Аксиома рефлексивности
Любая функциональная зависимость является рефлексивной по определению: А→А.
Следствие. При В⊆А имеет место функциональная зависимость А→В.
Так как В⊆А, то каждый кортеж проекции на А содержит кортеж проекции на В, что и объясняет следствие.
Пример.
Рассмотрим отношение R(X, Y, Z, W), на котором определено какое-то множество функциональных зависимостей F.
Пусть А={Y, Z, W}, а В={Y, W}, тогда очевидно, что В⊆А. Состояния Ri отношения R будут иметь вид
т.е. одна и та же совокупность значений атрибутов, которые входят в В, всегда соответствует одной и той же совокупности значений атрибутов, которые входят в А.
Тогда в F∗ входит исходное множество зависимостей F, заданные разработчиком зависимости и зависимости, которые сформированы соответственно аксиоме F1, т.е. F∗=F∪X→X,…,YZW→YW,….
Аксиома F1 дает зависимости А→А, АВ→А и т.д., называемые тривиальными, характеризующиеся тем, что атрибуты, которые входят в правую часть функциональной зависимости, полностью находятся среди атрибутов, которые входят в левую ее часть.
F2. Аксиома пополнения
Функциональная зависимость АВС→В принадлежит F∗, если на отношении R выполняется зависимость А→В и С⊆ХR, А⊆XR, В⊆ХR.
Данная аксиома показывает, что если в R выполняется А→В, то в левую часть функциональной зависимости можно добавить любые атрибуты, которые принадлежат ХR, что будет определением зависимостей, которые принадлежат F∗.
F3. Аксиома аддитивности
Согласно данной аксиоме можно выполнить объединение двух функциональных зависимостей, если они имеют одинаковые левые части.
Если в отношении R существуют функциональные зависимости А→В и А→С и А⊆ХR, В⊆ХR, С⊆ХR, то отношение удовлетворяет и функциональной зависимости А→ВС (запись А→В∪С принято заменять записью А→ВС).
F4. Аксиома проективности
Данная аксиома является обратной к аксиоме аддитивности и дает возможность разделить функциональную зависимость. Согласно аксиоме,
если в отношении R существует функциональная зависимость А→ВС, то для него будет существовать и функциональная зависимость А→В (и А→С).
Данное утверждение непосредственно вытекает из того, что В⊂ВС (и С⊂ВС). Учитывают, что запись ВС является сокращением для В∪С.
F5. Аксиома транзитивности
Если А⊆ХR, В⊆ХR, С⊆ХR и для отношения R существуют зависимости А→В, В→С, то для него существует и зависимость А→С.
F6. Аксиома псевдотранзитивности
Если А, В, С и L – подмножества атрибутов отношения R, в котором существуют зависимости А→В и ВС→L, то для него выполняется и зависимость АС→L.
