Устойчивость систем: критерий Михайлова

Формулировка критерия Михайлова

Чтобы замкнутая система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова в случае изменения частоты от 0 до бесконечности, начинался на вещественной полуоси, последовательно обходил квадранты координатной плоскости против часовой стрелки, где n - порядок характеристического полинома.

$an>0; a0>0$

Рисунок 1.

Стоит заметить, что для устойчивых систем автоматического управления годограф Михайлова начинается на вещественной полуоси, потому что все коэффициенты характеристического полинома положительны, а также:

$ф(w) (jw-Si)$

Помимо того, что для устойчивой системы фаза с ростом частот должна расти монотонно, то есть вектор поворачивается только против часовой стрелки, так как с ростом частоты монотонно растут одинаковые фазы элементарных векторов, которые являются его слагаемыми. Кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет спиралевидную форму, ее конец уходит в бесконечность в том квадранте плоскости координат, номер которого равняется степени характеристического полинома. Для устойчивых систем типовые кривые Михайлова имеют характеристический полином, а их примеры изображены на рисунке ниже.

Рисунок 2. Типовые кривые Михайлова. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Один из признаков неустойчивости системы - нарушение числа и последовательности пройденных кривой Михайлова квадрантов плоскости координат, из-за чего угол поворота вектора становится меньше, чем п*(n/2). Примеры годографов Михайлова для неустойчивых систем изображены на рисунке ниже.

Рисунок 3. Примеры годографов Михайлова для неустойчивых систем. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Иная формулировка критерия Михайлова. Порядок исследования линейных систем автоматического управления при помощи критерия Михайлова

Допустим следующее:

$V(w)=0; V(w)>=0$

Другая формулировка критерия Михайлова звучит следующим образом. Система автоматического управления устойчива только тогда, когда уравнения имеют все действительные и перемежающиеся корни, при этом количество корней равняется порядку характеристического уравнения и выполняются неравенства:

U(w)=0; U(w)>0

Устойчивая систем будет иметь следующий вид:

Рисунок 4.

А неустойчивая будет выглядеть следующим образом:

Рисунок 5.

Данное условие устойчивости называется условием перемежаемости корней. Порядок исследования линейных систем автоматического управления при помощи критерия Михайлова выглядит следующим образом:

1. Преобразование структурной схемы системы в расчетную.
2. Определение передаточной функции разомкнутой системы.
3. Получение передаточной функции замкнутой системе по полученной ранее передаточной функции разомкнутой системы.
4. Вычисление характеристического полинома замкнутой системы.
5. Построение годографа Михайлова.
6. Определение устойчивости системы по годографу Михайлова.

Решение задач при помощи критерия Михайлова

Допустим, что необходимо определить устойчивость системы автоматического управления по следующему характеристическому уравнению:

Рисунок 6.

Сначала получают вектор на комплексной прямой:

Рисунок 7.

После этого выделяются действительная и мнимая часть:

Рисунок 8.

Задаваясь значениями w (0, 2, 4 и т. д.) отдельно вычисляется действительная и мнимая часть, которые заносятся в таблицу.

Рисунок 9. Таблица. Примеры годографов Михайлова для неустойчивых систем

По полученным значениям строится годограф Михайлова.

Рисунок 10. Годограф Михайлова. Примеры годографов Михайлова для неустойчивых систем

Ответ звучит следующим образом. Получившийся годограф Михайлова системы пятого порядка в случае изменения частоты от нуля до бесконечности последовательно проходит против часовой стрелки по всем квадрантам координатной плоскости, начинается он с вещественной оси, и в пятом квадранте при w=1,85 уходит в бесконечность, таким образом можно сделать вывод, что рассматриваемая система автоматического управления является устойчивой. Проще построить годограф Михайлова по особым точкам. В данном случае особые точки представляют собой точки пересечения вектора с осями координат. Когда вектор пересекается с осью абсцисс мнимая часть характеристического вектора равняется нулю. При пересечении годографа с осью ординат вещественная часть вектора равняется нулю. После определения этих точек пересечения, процесс построения годографа Михайлова значительно упрощается. Количество точек пересечения равняется порядку характеристического уравнения. Таким образом для рассматриваемой системы пятого порядка определяется пять точек.