Оптимизация и оптимальное управление

Оптимизация и ее критерии

Постановка задачи оптимизации предполагает существование конкурирующих свойств процесса, например: количество продукции - качество продукции; количество продукции - расход сырья. При постановке задачи оптимизации необходимо:

1. Наличие цели оптимизации и объекта оптимизации. В данном случае формулировка задачи оптимизации требует экстремального значения только одной величины, то есть системе одновременно не должно приписываться более одного критерия оптимизации, потому что практически всегда экстремум одного критерия не соответствует экстремуму другого.
2. Наличие ресурсов оптимизации. В данном случае под ресурсами оптимизации понимается возможность выбора значений некоторых параметров объекта оптимизации. Данный объект должен обладать управляющими воздействиями - определенными степенями свободы.
3. Возможность количественной оценки оптимизируемой величины, что позволяет сравнить эффекты от выбора тех или иных управляющих воздействий.
4. Учет ограничений.

На основании выбранного критерия оптимальности составляется целевая функция, которая представляет собой зависимость критерия оптимальности от параметров, влияющих на ее значение. Целевая функция и критерий оптимальности определяется конкретной задачей оптимизации. Таким образом, можно сделать вывод, что задача оптимизации сводится к определению экстремума целевой функции. Самой общей постановкой оптимальной задачи является выражение критерия в виде экономической оценки (производительность, рентабельность, прибыль, себестоимость готовой продукции и т. п.). В частных задачах оптимизации не всегда целесообразно или не всегда удается выделить прямой экономический показатель, полностью характеризующий эффективность рассматриваемого объекта. В таком случае в качестве критерия оптимальности может быть использована технологическая характеристика, которая косвенно оценивает экономичность объекта. У критерия оптимальности должен быть ясный физический смысл, который отражает самые существенные стороны процесса, а также имеет количественную оценку.

Оптимальное управление. Математическая модель задачи. Методы теории оптимальных процессов

Исходными данными для решения задач оптимального управления содержатся в постановке задачи. Для того, чтобы использовать математические методы необходима четкая и строгая формулировка задачи, устраняющая двусмысленности и неопределенности. Поэтому для общей задачи необходима адекватная математическая формулировка - математическая модель задачи оптимизации. При помощи математической модели исходная задача отображается в виде математической схемы, в конечном результате в систему чисел. Полная математическая модель задачи оптимального управления состоит из ряда математических моделей:

1. Процесса управляемого движения.
2. Управляющих воздействий.
3. Показателя качества процесса управления.
4. Располагаемых ресурсов, а также технических ограничений.

Таким образом математическая модель оптимального управления характеризуется совокупностью определенных математических соотношений между ее составляющими, к которым относятся ограничения типа неравенств и равенств, дифференциальных уравнений, граничных и начальных условий, функций качества и т. п. В теории оптимальных процессов устанавливаются общие условия. Данным условиям должны удовлетворять составляющие математической модели, для того, чтобы математическая задача оптимального управления была четко определена и имела бы смысл - то есть в ней не содержались бы условия, приводящие к отсутствию решения. В большинстве случаев первоначальная задача и ее математическая модель существенно изменяются в конце исследования. Построение математической модели является итерационным процессом - уточняются постановка задачи и формулировка математической модели.

Все методы теории оптимальных процессов можно разделить на прямые и косвенные. Косвенные методы сводят задачи оптимизации характеристик системы к решению математических проблем. К данным методам относятся: принцип максимума Понтрягина и метод множества Лагранжа; метод Гамильтона-Якоби; некоторые методы, которые основаны на использовании результатов функционального анализа, например, метод моментов. Прямые методы теории оптимальных процессов сводят задачу оптимизации к максимизирующей или минимизирующей последовательности. На основании такой последовательности, при помощи предельного перехода может быть получено решение задачи. К таким методам относятся градиентные методы и методы, основанные на сведении задач оптимизации функционалов к задачам на условный экстремум.