Степень свободы с примерами

Степень свободы с точки зрения механики

Совместно с производными по времени от совокупности независимых координат (соответствующими скоростями) степени свободы полностью определяют состояние механической системы (т.е. ее положение в пространстве). Данный термин используется в таких дисциплинах, как:

• теоретическая механика;
• машиностроение;
• робототехника;
• теория летательных аппаратов.

В отличие от декартовой системы координат, степени свободы являются обобщенными координатами. Полярные, декартовы или еще какие-то конкретные координаты являются частным случаем обобщенных. Это значит, что речь идет о минимальном наборе чисел, полностью определяющем конфигурацию какой-либо системы.

Рисунок 1. Степени свободы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Требования минимальности такого набора параметров означает, что имеется в виду набор координат, который может описать систему лишь при возможном ее движении. Например, если в качестве системы рассматривать математический маятник при предположении, что его длина не может меняться, то координата, характеризующая расстояние от груза до точки его прикрепления не является степенью свободы, поскольку такая координата не может меняться.

Степень свободы и геометрическая неизменяемость

Если говорить о строительной механике, то при прочностном расчете систем, моделирующих реальные сооружения используются упрощенные изображения, свободные от второстепенных факторов, не играющих важное значение в работе. Такая модель называется расчетной схемой сооружения. Чаще всего в строительной механике ограничиваются рассмотрением сооружений в виде плоских систем, составленных из отдельных элементов, связанных между собой.

Вышеописанные системы могут воспринимать нагрузку лишь в том случае, когда они сохраняют заданную структуру (геометрическую форму и положение). Геометрически изменяемые системы не могут в полной мере уравновесить внешние усилия и под их действием приходят в движение, что оказывает непосредственное влияние на форму конструкции. Разумеется, подобные системы не следует использовать в качестве расчетных схем для реальных сооружений. Иными словами, модель проектируемого сооружения должна быть структурно или геометрически неизменяема (изменение формы элемента возможно здесь лишь при деформации данного элемента), а также неподвижна относительно основания.

Для того, чтобы выявить, обладает ли система такими характеристиками, а также для выявления характера работы каждого из элементов этой системы производят кинематический анализ. Такой анализ должен выполняться перед основным расчетом.

Изменяемость внутренней структуры расчетной схемы, а также ее подвижность относительно основания характеризуется степенью свободы, количеством независимых геометрических параметров, определяющих положение того или иного элемента. В этой связи кинематический анализ системы начинается с определения ее степени свободы.

Каждый геометрически неизменяемый элемент системы называется диском и имеет три степени свободы в плоскости. Так принято считать потому, что данный элемент может перемещаться поступательно по двум направлениям, а также поворачиваться вокруг любой точки. Простейшим диском с точки зрения строительной механики является стержень, моделирующий некоторые конструкции (например, стойку или ригель). Для реализации неизменяемости структуры и неподвижности всей модели (расчетной схемы) диски соединяют приспособлениями, способными ограничить степени свободы. Всякое приспособление, отнимающее одну степень свободы элемента, называется кинематической связью.

Роль связей в строительной механике выполняют шарниры и различные опоры. Шарниры могут быть простыми (рис. 1.1 а) и сложными (рис. 1.1 б).

С точки зрения строительной механики шарнир – это связь, которая позволяет соединяемым им элементам поворачиваться друг относительно друга.

Простой шарнир соединяет два диска, сложный – два и более. В этой связи сложный шарнир можно назвать эквивалентом (n-1) простых шарниров, где n – количество соединяемых дисков.

Каждый простой шарнир является эквивалентом двух связей, поскольку препятствует двум любым взаимным смещениям дисков, оставляя при этом возможность их взаимного поворота.

Степень свободы системы W, состоящей из Д дисков, соединяемых Ш простыми шарнирами будет определяться по формуле:

W = 3 • Д – 2 • Ш – С0, где С0 – число опорных стержней.

Для определения количества дисков расчетной схемы необходимо отбросить все шарниры и опоры, а для определения числа шарниров Ш – все опоры.

Для ферм, т.е. шарнирно-стержневых систем, состоящих из стержней, соединенных по концам шарнирами, степень свободы определяется по более простой формуле:

W = 2 • У – С – С0, где У – количество узлов фермы, С – число внутренних стержней.

Данная формула получена исходя из условия, что каждый узел шарнирно-стержневой системы имеет две степени свободы на плоскости, а стержень, соединяющий два узла, является эквивалентом одной связи, поскольку налагает на координаты точки лишь одно условие – равенство состояния.

Степень свободы системы без опорных стержней складывается из двух частей: степени изменяемости внутренней структуры и степени ее подвижности относительно основания (она равна трем).